Cómo saber si una función es par o impar

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Existe una forma en que puedes clasificar funciones como “pares”, “impares”, términos que hacen referencia a la repetición o simetría de la función. La mejor forma de determinarlo es manipular dicha función de manera algebraica, aunque también puedes visualizar el gráfico que crea y ver si es simétrica. Una vez que sepas cómo realizar la clasificación, podrás predecir la apariencia de determinadas combinaciones

Método 1

Método 1 de 2:
Probar la función utilizando métodos algebraicos

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Revisa las variables opuestas. En álgebra, el opuesto de una variable se escribe como un negativo. Esto se aplica independientemente de que la variable en la función sea $x$ $x$ o cualquier otra. Si la variable en la función original ya aparece como un valor negativo (o una resta), entonces su opuesto será positivo (o suma). A continuación, verás ejemplos de algunas variables y sus opuestos:^{[1]
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Fuente de investigación}
- El opuesto de $x$ es $-x$ .
- El opuesto de $q$ es $-q$ .
- El opuesto de $-w$ es $w$ .
2
Reemplaza cada variable en la función con su opuesto. No modifiques la función original además del signo de la variable. Por ejemplo:^{[2]
X
Fuente de investigación}
- $f(x)=4x^{2}-7$ se convierte en $f(-x)=4(-x)^{2}-7$ .
- $g(x)=5x^{5}-2x$ se convierte en $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$ .
- $h(x)=7x^{2}+5x+3$ se convierte en $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .
3
Simplifica la nueva función. En este punto, no te preocupes por resolver la función para hallar algún valor numérico en particular. Solo simplifica las variables para comparar la nueva función, f(-x), con la original, f(x). Recuerda las reglas básicas de los exponentes que indican que una base negativa elevada a una potencia par tendrá valor positivo, mientras que una base negativa elevada a una potencia impar tendrá valor negativo.^{[3]
X
Fuente de investigación}
- $f(-x)=4(-x)^{2}-7$ $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
  - $f(-x)=4x^{2}-7$
- $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$ $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
  - $g(-x)=5(-x^{5})+2x$
  - $g(-x)=-5x^{5}+2x$
- $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$
  - $h(-x)=7x^{2}-5x+3$
4
Compara las dos funciones. En cada ejemplo que pruebes, compara la versión simplificada de f(-x) con el original f(x). Alinea los términos entre sí para facilitar la comparación, y compara también los signos de todos ellos.^{[4]
X
Fuente de investigación}
- Si los dos resultados son iguales, entonces f(x)=f(-x) y la función original es par. Por ejemplo:
  - $f(x)=4x^{2}-7$ y $f(-x)=4x^{2}-7$ .
  - Estas dos funciones son iguales; por lo tanto, la función es par.
- Si cada término en la nueva versión de la función es el opuesto del término correspondiente del original, entonces f(x)=-f(-x) y la función es impar. Por ejemplo:
  - $g(x)=5x^{5}-2x$ pero $g(-x)=-5x^{5}+2x$ .
  - Ten en cuenta que si multiplicas cada término de la primera función por -1, crearás la segunda función. Por consiguiente, la función original g(x) es impar.
- Si la nueva función no corresponde con ninguno de estos dos ejemplos, entonces no es ni par ni impar. Por ejemplo:
  - $h(x)=7x^{2}+5x+3$ pero $h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . El primer término es el mismo en cada función, pero el segundo es un opuesto. Por lo tanto, esta unción no es ni par ni impar.

Método 2

Método 2 de 2:
Probar la función utilizando un gráfico

1
Grafica la función. Utiliza un papel cuadriculado o una calculadora gráfica y crea el gráfico de la función. Elige varios valores numéricos para $x$ $x$ e introdúcelos en la función para calcular el valor de $y$ $y$ resultante. Marca estos puntos y, tras haber marcado varios de ellos, únelos para ver el gráfico de la función.^{[5]
X
Fuente de investigación}
- Al marcar los puntos, revisa los valores positivos y negativos correspondientes de $x$ $x$ . Por ejemplo, si utilizas la función $f(x)=2x^{2}+1$ $f(x)=2x^{2}+1$ , deberás marcar los siguientes valores:
  - $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Esto produce el punto $(1,3)$ .
  - $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Esto produce el punto $(2,9)$ .
  - $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Esto produce el punto $(-1,3)$ .
  - $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Esto produce el punto $(-2,9)$ .
2
Prueba la simetría en el eje “y”. Cuando mires una función, la simetría sugerirá una imagen reflejada. Si ves que la parte del gráfico en el lado derecho (positivo) del eje “y” coincide con la parte del gráfico en el lado izquierdo (negativo) de dicho eje, entonces el gráfico es simétrico a lo largo del eje “y”. Si una función es simétrica a lo largo del eje “y”, entonces la función es par.^{[6]
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Fuente de investigación}
- Puedes probar la simetría al seleccionar los puntos individuales. Si el valor de “y” para cualquier “x” seleccionada es el mismo que el valor de “y” para -x, entonces la función es par. Los puntos elegidos anteriormente para marcar la función $f(x)=2x^{2}+1$ $f(x)=2x^{2}+1$ dieron los siguientes resultados:
  - (1,3) y (-1,3)
  - (2,9) y (-2,9)
- Los valores correspondientes de “y” para x=1 y x=-1, y para x=2 y x=-2 indican que se trata de una función par. En un caso real, seleccionar dos puntos no es prueba suficiente, pero es un buen indicador.
3
Prueba la simetría de origen. El origen es el punto central (0,0). La simetría de origen significa que un resultado positivo para un valor de “x” seleccionado corresponderá a un resultado negativo para -x, and vice versa. Las funciones impares muestran simetría de origen.^{[7]
X
Fuente de investigación}
- Si seleccionar algunos valores de ejemplo para “x” y sus valores opuestos correspondientes para -x, deberás obtener resultados opuestos. La siguiente función: $f(x)=x^{3}+x$ $f(x)=x^{3}+x$ proporcionará los siguientes puntos:
  - $f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . El punto es (1,2).
  - $f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . El punto es (-1,-2).
  - $f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . El punto es (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . El punto es (-2,-10).
- Por lo tanto, f(x)=-f(-x) y puedes concluir que la función es impar.
4
Busca una asimetría. El ejemplo final es una función que no tiene simetría de lado a lado. Si miras el gráfico, no verás una imagen reflejada a lo largo del eje “y” ni alrededor del origen. En este caso, usaremos la siguiente función: $f(x)=x^{2}+2x+1$ $f(x)=x^{2}+2x+1$ .^{[8]
X
Fuente de investigación}
- Elegiremos algunos valores para x y -x, de la siguiente manera:
  - $f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . El punto a marcar es (1,4).
  - $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . El punto a marcar es (-1,-2).
  - $f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . El punto a marcar es (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . El punto a marcar es (2,-2).
- Estos puntos deben ser suficientes para indicar una asimetría. Los valores de “y” para los pares opuestos de los valores de “x” no son los mismos ni tampoco son opuestos. La función no es par ni impar.
- Puedes reconocer que esta función, $f(x)=x^{2}+2x+1$ , puede reescribirse de la siguiente manera: $f(x)=(x+1)^{2}$ . Escrita en esta forma, parecerá una función par debido a que solo hay un exponente, el cual es un número par. No obstante, este ejemplo ilustra que no es posible determinar si una función es par o impar cuando se escribe en una forma entre paréntesis. Deberás expandirla a términos individuales y luego examinar los exponentes.

Consejos

Si en otra función una variable aparece siempre con exponentes pares, entonces dicha función será par. Si todos los exponentes son impares, entonces la función general será impar.