Cómo simplificar números complejos

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Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una parte imaginaria. El término "imaginario" se usa para la raíz cuadrada de un número negativo. Específicamente, se utiliza la notación $i={\sqrt {-1}}$ . Entonces, un número complejo se compone de un número real y algún múltiplo de i. 3 + 2i, 4 - i o 18 + 5i constituyen algunos ejemplos de números complejos. Estos números, como cualquier otro, se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir, luego de cual se puede simplificar esas expresiones. Para poder simplificar estas expresiones usando números complejos, es necesario aplicar reglas específicas.

Método 1

Método 1 de 3:
Sumar o restar números complejos

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Suma las partes reales. Debes reconocer que, en realidad, la suma y la resta constituyen el mismo proceso. Restar no es más que la suma de un número negativo, por lo que se trata a la suma y a la resta como dos versiones de un mismo proceso. Si quieres sumar dos o más números complejos, debes primero sumar únicamente sus partes reales.^{[1]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si quieres simplificar la suma de (a + bi) y (c + di), primero debes identificar que a y c son las partes reales de los números y luego sumarlas. Esto sería (a + c), simbólicamente.
- Para usar números de verdad y no variables, puedes considerar el siguiente ejemplo: (3 + 3i) + (5 - 2i). La parte real del primer número es 3, mientras que la del segundo número es 5. Si los sumas, obtendrás 3 + 5 = 8. Entonces, la parte real del número complejo simplificado será 8.
2
Suma las partes imaginarias. Debes identificar las partes imaginarias de cada número complejo y sumarlas mediante una operación aparte.^{[2]
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Fuente de investigación}
- En el caso del ejemplo algebraico de (a + bi) + (c + di), las partes imaginarias son b y d. Si las sumas de manera algebraica, obtendrás como resultado (b + d)i.
- En el caso del ejemplo numérico de (3 + 3i) + (5 - 2i), las partes imaginarias de ambos números complejos son 3i y -2i. Si las sumas, obtendrás como resultado 1i. Esto también puede escribirse como i.
3
Combina ambas partes para obtener la respuesta simplificada. Para obtener la versión final simplificada de la suma, debes volver a unir la parte real y la imaginaria. Obtendrás como resultado la suma simplificada de los números complejos.^{[3]
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Fuente de investigación}
- La suma de (a + bi) y (c + di) se escribe como (a + c) + (b + d)i.
- Si lo aplicas al ejemplo numérico, la suma de (3 + 3i) + (5 - 2i) es 8 + i.
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Método 2

Método 2 de 3:
Multiplicar números complejos

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Recuerda el método FOIL. Al observar un número complejo como (a + bi), esto debería recordarte a los binomios de las clases de álgebra en la escuela. No olvides que, al multiplicar binomios, es necesario multiplicar cada uno de los términos del primero por cada uno de los términos del segundo. El método FOIL es una versión abreviada para hacerlo. Este método son las siglas en inglés de "los primeros, los exteriores, los interiores y los últimos". En el caso del ejemplo (a + b)(c + d), así es como debes aplicar esta regla:^{[4]
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Fuente de investigación}
- Los primeros (por su sigla en inglés). La F de FOIL quiere decir que debes multiplicar el primer término del primer binomio por el primer término del segundo binomio. En el caso del ejemplo, esto sería a*c.
- Los exteriores (por su sigla en inglés). La O de FOIL indica que debes multiplicar los términos "exteriores"; es decir, el primer término del primer binomio y el segundo término del segundo binomio. En el caso del ejemplo, esto sería a*d.
- Los interiores (por su sigla en inglés). La I de FOIL quiere decir que debes multiplicar los términos "interiores"; es decir, los dos que se encuentran en el medio. Estos son el segundo término del primer binomio y el primer término del segundo binomio. En el caso del ejemplo, los términos interiores serían b*c.
- Los últimos (por su sigla en inglés). La L de FOIL representa los últimos términos de cada binomio. En el caso del ejemplo, esto sería b*d.
- Por último, debes sumar los cuatro productos. El resultado de la multiplicación de binomios del ejemplo (a + b)(c + d) es ac + ad + bc + bd.
2
Aplica el método FOIL a la multiplicación de números complejos. Si quieres multiplicar dos números complejos, debes establecerlos como el producto de dos binomios y luego aplicar el método FOIL. Por ejemplo, el producto de los números complejos (3 + 2i)*(5 - 3i) funcionaría de la siguiente forma:^{[5]
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Fuente de investigación}
- Los primeros. El producto de los primeros términos es 3*5 = 15.
- Los exteriores. El producto de los términos exteriores es 3*(-3i), el cual es igual a -9i.
- Los interiores. El producto de los dos términos interiores es 2i*5, el cual es igual a 10i.
- Los últimos. El producto de los últimos términos es (2i)*(-3i), el cual es -6i². Debes reconocer que i² es igual a -1. Por tanto, -6i² tiene un valor de -6*-1, lo cual es igual a 6.
3
Combina los términos. Una vez que hayas aplicado la regla FOIL y hayas obtenido los cuatro productos por separado, debes combinarlos para obtener el resultado de la multiplicación. Si combinas las partes del ejemplo (3 + 2i)*(5 - 3i), obtendrás 15 - 9i + 10i + 6.^{[6]
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Fuente de investigación}
4
Combina los términos semejantes para simplificarlos. La multiplicación siguiendo el método FOIL debería darte dos términos con números reales y dos términos con números imaginarios. Puedes combinar los términos que sean semejantes para simplificar el resultado.^{[7]
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Fuente de investigación}
- En el caso del ejemplo 15 - 9i + 10i + 6, puedes sumar 15 a 6 y -9i a 10i. Obtendrás como resultado 21 + i.
5
Trabaja con un ejemplo más. Encuentra el producto de los números complejos (3 + 4i)(-2 - 5i). Estos son los pasos para esta multiplicación:^{[8]
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Fuente de investigación}
- (3)(-2) = -6 (los primeros)
- (3)(-5i) = -15i (los exteriores)
- (4i)(-2) = -8i (los interiores)
- (4i)(-5i) = -20i²=(-20)(-1)=20 (los últimos)
- -6 - 15i - 8i + 20 = 14 - 23i (combina los términos y simplifica)
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Método 3

Método 3 de 3:
Dividir números complejos

1
Escribe la división de dos números complejos como si fuera una fracción. Si quieres dividir dos números complejos, debes establecer el problema como si fuera una fracción. Por ejemplo, si quieres obtener el cociente de (4 + 3i) entre (2 - 2i), así es como debes establecer el problema:^{[9]
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Fuente de investigación}
- ${\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}$
2
Encuentra el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo constituye una herramienta útil. Para obtenerlo, tan solo debes cambiar el signo que se encuentre en el medio del número complejo. Entonces, el conjugado de (a + bi) es (a - bi) y el de (2 - 3i) es (2 + 3i).
3
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Al multiplicar por una fracción que tenga el mismo numerador y denominador, el valor es simplemente 1, lo cual constituye una herramienta útil para la simplificación de números complejos, sobre todo para los problemas de división. Por tanto, así es como debes establecer el ejemplo ${\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}$ ${\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}$ :^{[10]
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Fuente de investigación}
- ${\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}*{\frac {(2+2i)}{(2+2i)}}$
- Luego, multiplica el numerador y el denominador y simplifica de la siguiente forma:
  - ${\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}*{\frac {(2+2i)}{(2+2i)}}$
  - ${\frac {8+8i+6i+6i^{2}}{4+4i-4i-4i^{2}}}$
  - ${\frac {8+14i+6(-1)}{4-4(-1)}}$
  - ${\frac {8+14i-6}{4+4}}$
  - ${\frac {2+14i}{8}}$
- En el segundo paso, observa que el denominador contiene los términos $+4i$ y $-4i$ , los cuales se cancelarán mutuamente. Esto siempre ocurrirá al multiplicar por el conjugado. Los términos imaginarios del denominador siempre deben cancelarse y desaparecer.
4
Regresa al formato del número complejo. Debes reconocer que el denominador aplica equitativamente para ambas partes del numerador. Por tanto, puedes crear un número complejo estándar separando el numerador.^{[11]
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Fuente de investigación}
- ${\frac {2+14i}{8}}={\frac {2}{8}}+{\frac {14i}{8}}={\frac {1}{4}}+{\frac {7i}{4}}$
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