Comment calculer l'aire d'un cylindre

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L’aire de surface d’un objet à trois dimensions est la somme des aires de toutes les faces qui le composent. L’aire de surface totale d’un cylindre est en fait la somme de trois aires : celle de sa surface latérale et celles des deux extrémités circulaires. La formule de calcul de l’aire A d’un cylindre est donc la suivante : $A=2\pi r^{2}+2\pi rh$ .

Partie 1

Partie 1 sur 3:
Calculer l’aire totale des extrémités circulaires

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Portez votre attention sur les deux bases du cylindre. Elles sont à chaque extrémité du cylindre. Pour mieux visualiser ce qu’est un cylindre, imaginez une boite de conserve sans rebords. Cette dernière possède deux surfaces circulaires identiques, une première en haut et une seconde en bas. La première étape du calcul de l’aire de surface d’un cylindre consiste à calculer l’aire de chacune de ces parties circulaires et à les additionner ^{[1]
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Source de recherche}.
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Récupérez le rayon de votre cylindre. Le rayon d’un cercle est cette distance va du centre du cercle à un point quelconque de sa circonférence. Dans les formules mathématiques, le rayon a pour abréviation $r$ $r$ . Les deux bases circulaires ont, par définition, le même rayon, sinon ce ne serait pas un cylindre. Nous prendrons comme exemple, un rayon de 3 cm ^{[2]
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Source de recherche}.
- Si vous devez résoudre un exercice, le rayon sera surement donné dans l’énoncé. Il se peut qu’on vous donne le diamètre de ces bases circulaires, c’est-à-dire la distance qui sépare deux points de la circonférence en passant par le centre du cercle. Pour obtenir le rayon ( $r$ ), il suffit de diviser ce diamètre
  ( $D$ ) par deux : $r={\frac {D}{2}}$ .
- Si vous cherchez l’aire d’un vrai cylindre (une boite de conserve ou une canette de soda, par exemple), vous pouvez mesurer le rayon d’une des bases à l’aide d’une simple règle. Le mieux est de prendre le plus grand diamètre et de le diviser par deux.
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Calculez l’aire $A_{b}$ du cercle supérieur. Elle s’obtient en élevant en premier le rayon au carré, puis en multipliant ce résultat par $\pi$ $\pi$ (environ 3,14). La formule est la suivante : $A_{b}=\pi \times r^{2}$ $A_{b}=\pi \times r^{2}$ , $A_{b}$ $A_{b}$ étant l’aire de la base. Elle peut aussi s’écrire de façon développée : $A_{b}=\pi \times r\times r$ $A_{b}=\pi \times r\times r$ .
- Pour calculer l’aire de la base, vous n’avez besoin que du rayon de celle-ci. Pour l’exemple, nous prendrons un rayon de 3 cm, valeur que nous mettrons dans la formule : $A_{b}=\pi r^{2}$ . Procédez comme suit ^{[3]
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  Source de recherche} :
- $A_{b}=\pi r^{2}$
- $A_{b}=\pi \times 3^{2}$
- $A_{b}=\pi \times 9=28,26\ cm^{2}$
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Calculez l’aire du cercle inférieur. Vous avez réussi à calculer l’aire du premier cercle, il vous reste à calculer l’aire du second. Bien sûr, vous pouvez refaire les mêmes calculs, mais ce serait une perte de temps, car vous avez remarqué que les deux bases sont strictement identiques, il est donc inutile de faire deux fois le même travail. Vous notez sur un coin de votre feuille la surface trouvée précédemment, ce sont ces deux surfaces identiques que vous utiliserez plus tard ^{[4]
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Source de recherche}.

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Partie 2

Partie 2 sur 3:
Calculer l’aire de surface de la paroi latérale

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Portez votre attention sur la paroi latérale. Revenons à notre boite de conserve. Vous voyez qu’elle est aussi constituée d’une paroi latérale qui relie les deux extrémités circulaires. En fait, cette paroi est un rectangle qu’on aura roulé. Ce rectangle a pour côté la hauteur du cylindre et pour largeur la circonférence de la base circulaire ^{[5]
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Source de recherche}.
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Calculez la circonférence d’un des deux cercles. Pour pouvoir calculer l’aire de la paroi latérale (aussi appelée « aire de surface latérale »), il vous faut la circonférence ( $C$ ) de la base. Cette dernière s’obtient très facilement en multipliant le rayon par $2\pi$ : $C=2\pi r$ . Dans l’exemple qui a été choisi, cela revient à multiplier 3 cm par $2\pi$ : $C=3\ cm\times 2\pi =18,84\ cm$ ^{[6]
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Source de recherche}.
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Multipliez cette circonférence par la hauteur du cylindre. Vous obtiendrez ainsi l’aire ( $A_{p}$ ) de la paroi latérale. Dans l’exemple, multipliez la circonférence (18,84 cm) par la hauteur (5 cm) : $A_{p}=18,84\ cm\times 5\ cm=94,2\ cm^{2}$ ^{[7]
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Source de recherche}. Répétons-le : cette aire est en fait celle d’un rectangle.

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Partie 3

Partie 3 sur 3:
Calculer l’aire de surface totale du cylindre

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Portez votre attention sur le cylindre dans son entier. Pour nous résumer, vous avez calculé l’aire cumulée des deux cercles à chacune des extrémités, puis celle de la paroi latérale. Vous sentez bien que le travail est presque terminé dans la mesure où le cylindre ne présente plus d’autres faces. L’aire totale du cylindre, comme cela a été dit en introduction, est la somme des aires de toutes les faces ^{[8]
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Source de recherche}.
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Multipliez cette aire de base par deux. À ce stade, comme il y a deux bases, il faut multiplier par deux la surface obtenue, ce qui donne :
$A_{2b}=28,26\ cm^{2}\times 2=56,52\ cm^{2}$ . Ce résultat est l’aire cumulée des deux bases ^{[9]
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Source de recherche}.
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Additionnez l’aire latérale et l’aire cumulée des deux bases. Arrivé à ce stade, vous avez calculé l’aire cumulée des deux bases et l’aire de la paroi latérale, il ne vous reste plus qu’à les additionner et vous aurez l’aire de surface du cylindre dans son entier. Additionnez l’aire des deux bases et celle de l’aire de la paroi latérale, ce qui donne :
$A_{c}=A_{2b}+A_{p}=56,52\ cm^{2}+94,2\ cm^{2}=150,72\ cm^{2}$ . L’aire de surface d’un cylindre d’une hauteur de 5 cm et d’une base circulaire de 3 cm de rayon est de 150,72 cm² ^{[10]
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Source de recherche}.

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Conseils

À un niveau plus élevé, il est possible que l'on vous donne des exercices dans lesquels les rayons ou les hauteurs renfermeront des racines carrées
( $r=4{\sqrt {15}}\ cm$ ). Si vous désirez de l’aide ou rafraichir votre mémoire sur ces racines carrées, vous pouvez toujours consulter cet article et celui-ci.