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Calculer l’aire d’un polygone peut être extrêmement simple si vous avez affaire à un triangle ou un carré, mais les choses se corsent quand vous avez à travailler sur un hendécagone (polygone à onze côtés) ou un polygone irrégulier. C’est pourquoi il n’est peut-être pas inutile de faire le point sur les différentes façons de calculer l’aire d’un polygone.
Étapes
Partie 1
Partie 1 sur 3:
Trouver l’aire d’un polygone régulier en se servant de l’apothème
Partie 1
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1Notez la formule de l’aire d’un polygone régulier. Elle est à la fois simple (elle n’est constituée que de multiplications) et compliquée (elle fait intervenir des segments particuliers) et est la suivante : aire = 1/2 x périmètre x apothème. Dans cette formule :
- le périmètre (p) est la somme des longueurs de tous les côtés ;
- l’apothème (a) est le segment qui relie le centre du polygone au cercle qui lui est inscrit, ce segment est perpendiculaire au côté.
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2Trouvez l’apothème du polygone. Dans un exercice où l’on vous demande d’utiliser la formule avec l’apothème, ce dernier vous est le plus souvent donné. Prenons l’exemple d’un hexagone ayant un apothème de 10√3 cm (environ 17,3 cm).
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3Calculez le périmètre du polygone. Si l’on vous donne le périmètre, vous n’avez plus qu’à passer à l’application numérique, mais ce n’est pas toujours le cas. Par contre, si on ne vous donne que l’apothème d’un polygone régulier, vous allez devoir quelques petits calculs pour trouver le périmètre.
- Il vous faut imaginer que cet apothème est un des côtés d’un triangle rectangle comprenant deux autres angles de 30° et 60°. En effet, sur l’illustration, vous pouvez voir qu’un hexagone peut être découpé en six triangles équilatéraux. L’apothème est en fait le segment qui coupe en deux un de ces triangles, donnant un triangle rectangle (avec trois angles de 30°, 60° et 90°).
- Dans un triangle rectangle, si le côté opposé à l’angle de 30° a une longueur de x cm, le côté opposé à l’angle de 60° a toujours une longueur de x√3 cm. Partant, le côté opposé à l’angle droit a toujours une longueur de 2x. Si donc vous avez un apothème de 10√3, posez que c’est le côté qui fait x√3 et vous pourrez en déduire que x = 10.
- Ce x ne représente en fait que la moitié du côté du triangle équilatéral de départ. Il faut donc le multiplier par 2. En agissant ainsi, vous venez de trouver en fait un des six côtés de l’hexagone et comme il y a six côtés égaux, le périmètre (p) de l’hexagone vaudra : p = 6 x 20 = 120 cm.
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4Remplacez l’apothème et le périmètre par leurs valeurs. Reprenez la formule : aire = 1/2 x p x a, et remplacez p et a par leurs valeurs respectives, à savoir 120 et 10√3. Votre formule devient alors la suivante :
- aire = 1/2 x 120 x 10√3
- aire = 60 x 10√3
- aire = 600√3
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5Donnez le résultat sous forme décimale. Il est possible qu’on vous demande de laisser la réponse telle quelle, mais souvent on vous demandera une réponse décimale. À l’aide de la calculatrice, calculez √3, puis multipliez par 600, ce qui donne : √3 x 600 = 1,732 x 600 = 1 039,2 cm2, ce qui est votre réponse finale.Publicité
Partie 2
Partie 2 sur 3:Trouver l’aire d’un polygone régulier avec d’autres formules de calcul
Partie 2
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1Trouvez l’aire d’un triangle. Pour calculer l’aire de n’importe quel triangle, utilisez une seule et même formule : aire = 1/2 x base x hauteur.
- Par exemple, un triangle ayant une base de 10 cm et une hauteur de 8 cm, aura une aire (A) de : A = 1/2 x 8 x 10 = 40 cm2.
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2Trouvez l’aire d’un carré. Pour calculer l’aire (A) d’un carré de côté a, il suffit d’élever la longueur de son côté (A= a2). En fait, l’aire d’un carré s’obtient en multipliant sa longueur par sa largeur, mais comme les côtés sont identiques, cela revient à élever le côté au carré.
- Par exemple, un carré de 6 cm de côté aura une aire (A) de : A = 6 x 6 = 36 cm2.
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3Trouvez l’aire d’un rectangle. Pour calculer l’aire d’un rectangle, il faut simplement multiplier la longueur par la largeur (aire = longueur x largeur).
- Par exemple, un rectangle ayant une longueur de 4 cm et une largeur de 3 cm aura une aire (A) de : A = 4 x 3 = 12 cm2
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4Trouvez l’aire d’un trapèze. Elle se calcule en utilisant une formule un peu plus complexe, à savoir : aire = [(base 1 + base 2) x hauteur]/2
- Prenons l’exemple d’un trapèze ayant deux bases de 6 et 8 cm et une hauteur de 10 cm. L’aire (A) de cette figure se calcule comme suit : A = ((6 +8) x 10)/2, qui devient A = (14 x 10)/2 = 140/2 = 70 cm2.
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Partie 3
Partie 3 sur 3:Trouver l’aire d’un polygone irrégulier
Partie 3
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1Notez les coordonnées des sommets. Dans un repère orthonormé, récupérez les coordonnées de chacun des sommets du polygone. En effet, pour ce type de polygone, l’aire peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.
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2Préparez un tableau de coordonnées. Indiquez tous les sommets et leurs coordonnées x (abscisses) et y (ordonnées) en opérant dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Terminez par les coordonnées du premier sommet.
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3Multipliez l’abscisse d’un sommet par l’ordonnée du suivant. Notez à droite du tableau les résultats de vos calculs. Additionnez le tout. Dans l’exemple ci-dessus, on obtient 82.
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4Multipliez ensuite l’ordonnée d’un sommet par l’abscisse du suivant. Notez également, plus à droite du tableau, les résultats de vos calculs. Additionnez le tout. Dans l’exemple ci-dessus, on obtient -38.
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5Soustrayez la dernière somme de la première. Dans notre exemple, cela revient à soustraire -38 de 82, ce qui donne : 82 - (-38) = 82 + 38 =120.
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6Divisez alors votre résultat par 2. Vous obtenez ainsi l’aire du polygone. Dans notre exemple, il suffit de diviser 120 par 2, ce qui donne 60. Le polygone étudié a une surface de 60 unités carrées (cette unité étant la longueur entre deux graduations).Publicité
Conseils
- Si vous prenez les points dans le sens des aiguilles d’une montre, alors qu’il faut les prendre dans le sens contraire, vous allez obtenir la même valeur, mais négative. C’est ainsi que vous pourrez en déduire le sens dans lequel ces points sont organisés. On utilise la méthode analytique.
- Cette formule permet de calculer une aire algébrique qui tient compte de l’orientation. Si vous avez affaire à un polygone croisé (deux des côtés sont sécants, comme dans une figure en forme de « 8 »), vous obtiendrez sa surface en calculant en premier la surface dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, puis celle dans le sens des aiguilles d’une montre et vous finirez en retranchant la seconde de la première.
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Références
- http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html (source principale de l’article)
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