Comment faire des opérations sur les fractions équivalentes

Trouvez le facteur (= nombre) par lequel il faut multiplier le plus petit dénominateur pour trouver le plus grand. Dans de nombreux exercices, on est amené à se demander si deux fractions sont ou non, équivalentes. En trouvant ce nombre qui permet de passer du petit au grand dénominateur, vous êtes sur le chemin de réduire les deux fractions au même dénominateur et de pouvoir aisément les comparer.

• Reprenons les fractions 4/8 et 8/16. Le plus dénominateur est 8 et si on le multiplie par 2, on obtient le second dénominateur, 16. Ce fameux nombre dont on parlait est ici : 2.
• Si les dénominateurs sont des nombres plus élevés, il suffit de diviser le plus grand par le plus petit. Ici, 16 divisé par 8, donne 2 : c'est la même réponse !
• Ce nombre n'est pas forcément un entier. Ainsi, avec 2 et 7 comme dénominateurs, on obtient un rapport de 1 à 3,5 (7 = 2 x 3,5).

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction réduite à sa plus simple expression par le nombre trouvé précédemment. Deux fractions différentes, mais équivalentes ont, par définition, des numérateurs et des dénominateurs multiples les uns des autres. Dit autrement, le fait de multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre donne une fraction équivalente. Ce n'est pas parce que les éléments des fractions équivalentes sont différents qu'elles n'ont pas la même valeur ^[1] .

• Ainsi, notre fraction de l'étape 1, 4/8, peut être transformée en fraction équivalente en multipliant les deux termes de la fraction par la valeur 2 trouvée précédemment. Cela donne : (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Les deux fractions sont équivalentes.

Exprimez chaque fraction sous forme décimale. Si vous avez affaire à deux fractions sans inconnue, il est possible de les exprimer sous forme décimale afin de voir si elles sont équivalentes. Les fractions n'étant rien d'autre que des divisions, il est possible de procéder à ces opérations pour établir simplement si oui ou non, deux fractions sont équivalentes.

• Reprenons notre fraction 4/8. Cette fraction peut être considérée comme la simple division de 4 par 8, soit 0,5. On procède de la même façon avec l'autre fraction, soit 8/16, laquelle vaut aussi 0,5 (8/16 = 0,5). Plus généralement, si deux fractions différentes ont la même valeur décimale après division, alors elles sont équivalentes.
• Quand on exprime des fractions sous forme décimale, il faut faire la division jusqu'au bout, c'est-à-dire avec toutes les décimales. Ainsi, 1/3 = 0,333…, alors que 3/10 = 0,3. Certes, la première décimale est la même, mais pas les suivantes : les deux fractions ne sont donc pas équivalentes !

Divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre et vous obtiendrez une fraction équivalente. Cette méthode s'applique à toutes les fractions, même si, pour des fractions plus complexes, il faut quelques opérations supplémentaires. On a vu qu'on pouvait multiplier par un même nombre, sachez qu'on peut aussi diviser une fraction par un même nombre afin d'obtenir une fraction équivalente. Seule précaution à respecter : la fraction obtenue ne doit avoir en numérateur et en dénominateur que des entiers.

• Reprenons une nouvelle fois notre fraction 4/8. Si, au lieu de multiplier, on divisait le numérateur et le dénominateur par 2, on obtiendrait : (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 et 4 étant des entiers, 2/4 est une fraction équivalente de 4/8.

Réduisez chaque fraction à sa plus simple expression. La plupart des fractions peuvent être réduites à leur plus simple expression et pour cela, il faut les diviser par ce qu'on appelle le « Plus Grand Commun Diviseur » ou PGCD. Cette méthode relève du même esprit que la réduction au même dénominateur, sauf que cette réduction se fera avec le plus petit dénominateur commun.

• Dans une fraction réduite à sa plus simple expression, le numérateur et le dénominateur ne peuvent plus être réduits simultanément ou si vous préférez, il n'existe alors aucun entier capable de diviser en même temps les deux composantes de la fraction. Pour transformer une fraction quelconque en une fraction équivalente, mais irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur « Plus Grand Commun Diviseur ».
• Par « Plus Grand Diviseur Commun » (PGCD) du numérateur et du dénominateur, on entend « le plus grand entier qui divise simultanément ces deux entiers ». Ainsi, pour la fraction 4/8, 4 est le plus grand entier qui divise simultanément 4 et 8 : c'est le PGCD. Si on divise chaque élément de la fraction 4/8 par 4, on obtient une fraction réduite à sa plus simple expression (on dit aussi « irréductible »). On a donc : (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. Pour la fraction 8/16, le PGCD est 8, ce qui revient à dire que (8/16) ÷ 8 = 1/2, fraction irréductible.

Mettez vos deux fractions à égalité. Nous allons utiliser le produit en croix dans des problèmes de fractions dont on sait à l'avance qu'elles sont équivalentes, mais qui contiennent une inconnue (« x »). L'objectif est alors de trouver la valeur de « x ». On sait dès le départ que les fractions sont équivalentes puisqu'elles ont un signe « = » entre elles. Par contre, la résolution de cette équation, car c'en est une, est un peu difficile à première vue, mais il n'en est rien. En effet, on a à notre disposition une procédure très pratique pour ce genre d'équation : le produit en croix ^[2]  !

Le produit en croix consiste à multiplier les éléments des fractions selon une croix, un « X » si vous préférez. Concrètement, on multiplie le numérateur de l'une des fractions avec le dénominateur de l'autre et vice versa. On met à égalité ces deux produits et on résout ^[3] .

• Reprenons nos deux exemples précédents : 4/8 et 8/16. Certes, nous n'avons pas d'inconnue, mais on peut quand même utiliser cette méthode, maintenant que nous savons que ces deux fractions sont équivalentes. Le produit en croix donne : 4 x 16 = 8 x 8, soit 64 = 64. CQFD ! Si avec d'autres fractions, cette égalité n'avait pas été vérifiée, alors les fractions n'auraient pas été équivalentes.

Introduisez une inconnue. Le produit en croix permettant de vérifier rapidement que deux fractions sont équivalentes, vous pouvez compliquer le problème en y introduisant une inconnue.

• À titre d'exemple, prenons l'équation suivante : 2/x = 10/13. Avec le produit en croix, vous devez multiplier 2 par 13 et 10 par x, puis mettre à égalité ces deux quantités :
  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. Trouver « x » est alors un jeu d'enfant. x = 26/10 = 2,6, ce qui nous donne l'équivalence suivante : 2/2,6 = 10/13.

Servez-vous du produit en croix pour résoudre des équations contenant plusieurs fois la même inconnue ou des inconnues différentes. Le grand intérêt du produit en croix est qu'il fonctionne aussi bien avec des fractions simples (comme on l'a vu !) qu'avec des fractions bien plus compliquées. Ainsi, pour deux fractions contenant une inconnue, l'objectif consistera, lors des calculs, à regrouper l'inconnue. De la même façon, si vous avez, en numérateur ou en dénominateur, des expressions entre parenthèses contenant une inconnue (du type : x + 1), il faut recourir à la distributivité pour développer, puis résoudre classiquement votre équation.

• Prenons, par exemple, l'équation suivante : ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Pour la résoudre, on utilise donc le produit en croix :
  • (x + 3) × 4 = 4x + 12
  • (x + 1) × 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12, on peut simplifier en retirant 2x de chaque côté
  • 2 = 2x + 12, on isole ensuite « x » en retirant 12 de chaque côté
  • -10 = 2x, il suffit enfin de diviser par 2 chaque côté pour avoir « x »
  • - 5 = x ou x = - 5

Faites le produit en croix des deux fractions. Avec les problèmes qui nécessitent d'utiliser la résolution via le discriminant, il faut d'abord et toujours commencer par faire le produit en croix. Le plus souvent, quand on fait le produit en croix de fractions un peu complexes contenant l' inconnue à plusieurs reprises, on obtient une équation un peu compliquée, souvent du second degré, qu'on ne peut résoudre aussi facilement que le cas précédent. Il faut alors recourir à des méthodes plus élaborées, comme la factorisation et/ou la méthode du discriminant ^[4] .

• Prenons, par exemple, l'équation suivante : ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). On commence par le produit en croix :
  • (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  • 4 × 3 = 12
  • 2x² - 2 = 12.

Aménagez l'équation sous la forme d'une équation du second degré. En effet, à ce stade, il faut récrire l'équation sous la forme classique : ax² + bx + c = 0. Il suffit que le deuxième membre de l'équation soit égal à 0. Ici, vous allez retirer 12 des deux membres de l'équation : 2x² - 2 (-12) = 12 (-12), soit 2x² - 14 = 0.

• Certains coefficients sont égaux à 0. Certes, 2x² - 14 = 0 est une équation dans sa plus simple expression, mais on pourrait tout aussi bien l'écrire ainsi : 2x² + 0x + (-14) = 0. Au début, vous pouvez écrire l'équation dans toute son extension, avec des 0 en coefficient ; plus tard, vous n'en aurez plus besoin.

Trouvez les solutions (ou racines) de l'équation du second degré. Partant de la formule des racines, soit x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a), il suffit de faire l'application numérique avec vos valeurs ^[5] . Ne soyez pas effrayé par la longueur de cette formule ! Repérez les valeurs « a, b, c » de votre équation à résoudre et placez-les, sans vous tromper, dans la formule. Exemple :

• x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a. Notre équation est : 2x² - 14 = 0, donc a = 2, b = 0 et c = -14.
• x = (-0 +/- √(0² - 4(2)(-14)))/2(2)
• x = (+/- √(0 - -112))/2(2)
• x = (+/- √(112))/2(2)
• x = (+/- 10,58/4)
• x = +/- 2,64