Comment tracer le graphe d'une fonction

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Le graphe d’une fonction est une représentation graphique de tous les points qui satisfont l’équation de la fonction. Cette courbe s’inscrit dans un repère orthonormé (x, y). L’avantage d’un graphe est qu’il permet de mieux se rendre compte des aspects particuliers d’une fonction en certains points ou sur les infinis. À chaque fonction, son graphe, si bien qu’il y en a autant que vous pouvez en concevoir. Si certaines fonctions ont des graphes faciles à tracer, il n’en va pas de même avec d’autres fonctions.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Tracer le graphe d’une fonction linéaire

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Sachez identifier une fonction linéaire. C’est peut-être la plus simple des fonctions. Elle se présente sous la forme : $f(x)=ax+b$ $f(x)=ax+b$ , à l’image de $y=2x+5$ $y=2x+5$ , $a$ $a$ et $b$ $b$ étant des réels. Une telle fonction ne renferme aucun exposant ni racine. Le tracé d’une telle fonction est simple, puisqu’il suffit d’avoir deux points. Ci-dessous, quelques fonctions linéaires.
- $f(n)=4-2n$ .
- $y=3t-120$ .
- $f(x)={\frac {2}{3}}x+3$ ^{[1]
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  Source de recherche}.
2
Déterminez l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée de l’image lorsque $x=0$ . Graphiquement, c’est l’endroit où la courbe de la fonction croise l’axe des ordonnées (des « y »). Si vous remplacez $x$ par 0, vous obtenez $f(0)=a(0)+b=b$ . Pour la fonction $y=2x+5$ , l’intersection avec l’axe des ordonnées se fait sur le trait marqué 5, soit le point (0,5).
3
Repérez la pente de la courbe. Appelée aussi « coefficient directeur », la pente est donnée par le coefficient de $x$ . Pour $y=2x+5$ , la pente est 2. La pente d’une droite indique comment varie l’ordonnée $y$ lorsque l’abscisse $x$ augmente de 1 : plus la pente est élevée, plus la courbe se rapproche de la verticale.
4
Notez la pente sous forme de fraction. Une pente est la variation de la hauteur par rapport à un déplacement. Notez-la sous la forme d’une fraction sur 1. Le numérateur est l’élévation de la courbe et le dénominateur la distance parcourue. Une pente de 2 ( ${\frac {2\ vers\ le\ haut}{1\ vers\ la\ droite}}$ ${\frac {2\ vers\ le\ haut}{1\ vers\ la\ droite}}$ ) signifie que chaque fois que vous augmentez l’abscisse d’une unité, la courbe s’élève de deux unités.
- Une pente négative se traduit par une courbe qui descend chaque fois que l’abscisse augmente.
5
Partez du point d’intersection sur l’axe des ordonnées. Le point (0,5) a déjà été marqué. Tracez d’autres points depuis ce point en montant (ou descendant) de 2 unités pour une unité vers la droite (ou gauche). Les points (1,7) et (-2,1) appartiennent à cette droite.
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Tracez le graphe de la fonction. Pour cela, reliez les points à la règle. Pour éviter un tracé approximatif, le mieux est d’aligner les deux points les plus éloignés. Voilà ! Votre droite, votre graphe est tracé !

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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Marquer les points d’un graphe

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Écrivez correctement la fonction linéaire. Pour tracer le graphe d’une fonction, elle doit se présenter ainsi : $f(x)=ax+b$ . À chaque valeur de $x$ correspond une image : $f(x)$ ou $y$ . La notation $y=x+2$ est plus commode que $f(x)=x+2$ , tous les points du graphe auront pour coordonnées $(x,x+2)$ .
2
Tracez votre repère. Tracez deux lignes qui se croisent à angle droit. L’axe horizontal est celui des abscisses ( $x$ ), tandis que l’axe vertical est celui des ordonnées (Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): y ).
3
Étalonnez les axes. Le point d’intersection est le 0 de chacun des axes. Faites des marques régulièrement espacées le long des deux axes, à droite
( $x$ positifs), à gauche ( $x$ négatifs), en haut ( $y$ positifs) et en bas ( $y$ négatifs). Numérotez vos traits.
4
Trouvez des points de la courbe. Faisons un tableau des images ( $y$ $y$ ) pour 2 ou 3 valeurs de $x$ $x$ de la fonction $f(x)=x+2$ $f(x)=x+2$ . Si la fonction présente plusieurs constantes et valeurs de $x$ $x$ , réduisez-la à sa plus simple expression en regroupant.
- Pour $x=-1,y=-1+2=1$ .
- Pour $x=0,y=0+2=2$ .
- Pour $x=1,y=1+2=3$ .
5
Tracez les points de la courbe. Marquez les points trouvés, soit (-1,1), (0,2) et (1,3). Repérez sur l’axe horizontal $x$ , faites de même avec $y$ , tracez légèrement des lignes parallèles aux axes et à l’intersection des deux lignes se trouve votre point.
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Effacez les traits de construction. Seuls les points d’intersection nous intéressent. Si vous aviez eu à construire le graphe de la fonction $f(x)=x$ , il serait passé par le point origine (0,0), mais comme c’est la fonction $f(x)=x+2$ , la courbe est plus haute de 2 unités ^{[2]
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Source de recherche}.

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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Tracer les graphes de diverses fonctions

1
Comprenez qu’à chaque famille de fonctions correspond un graphe. Toute étude de fonction complexe commence par un tableau de variations qui permet d’avoir une vision générale du graphe. Parmi les fonctions les plus souvent étudiées, citons :
- les fonctions du second degré ;
- les fonctions rationnelles ;
- les fonctions logarithmiques ;
- les résolutions graphiques d’une inéquation (ce n’est pas une fonction, mais le graphe de résolution s’apparente à celui d’une fonction).
2
Trouvez les racines de la fonction. Les racines sont les valeurs de x pour laquelle ( $f(x)=0$ $f(x)=0$ . Elles sont les points d’intersection de la courbe (graphe) avec l’axe des ordonnées. Si votre graphe ne coupe pas l’axe des ordonnées, la fonction n’a pas de racine. Pour les racines, opérez ainsi :
- écrivez la fonction : $f(x)=2x^{2}-18$ ;
- posez : $2x^{2}-18=0$ ;
- faites les calculs : $2x^{2}-18=0$ $2x^{2}-18=0$ ;
  - $2x^{2}=18$ ;
  - $x^{2}=9$ ;
  - $x=3$ et $x=-3$ ^{[3]
    X
    Source de recherche}.
3
Trouvez les équations des asymptotes horizontales et tracez-les. Une asymptote est une sorte de limite que votre graphe ne pourra jamais dépasser. Toute fonction ayant l’inconnue en dénominateur a une ou plusieurs lignes asymptotes. Prenons $y={\frac {1}{4-x^{2}}}$ $y={\frac {1}{4-x^{2}}}$ . La division par 0 étant impossible, cherchez la valeur de $x$ $x$ pour laquelle le dénominateur s’annule. Il y a deux réponses : $x=2$ $x=2$ et $x=-2$ $x=-2$ . Aucun point de la droite n’aura une quelconque de ces abscisses.
- Les fonctions du second degré du type $f(x)=x^{2}$ , avec $x\neq 0$ ne donnent jamais de résultats négatifs. C’est pourquoi la droite d’équation $y=0$ est asymptote.
- À moins que vous ne travailliez dans l’ensemble des nombres imaginaires, vous ne pouvez pas avoir de réponse pour ${\sqrt {-1}}$ ^{[4]
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  Source de recherche}.
- Les fonctions contenant une puissance complexe ont plusieurs asymptotes.
4
Calculez quelques points de la courbe et placez-les. Prenez quelques valeurs de $x$ $x$ et trouvez leurs images $y$ $y$ . Placez tous les points de coordonnées (x, y) sur le repère. Plus la fonction est complexe, plus vous aurez besoin de points. Le plus souvent, le tracé commence par le calcul des images des abscisses -1, 0 et 1, mais si vous vous apercevez que les points ne sont pas très symétriques, alors il faudra trouver d’autres points, jusqu’à trouver une logique ^{[5]
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Source de recherche}.
- Tentons de tracer le graphe de la fonction $y=5x^{2}+6$ . Calculez les images de -1, 0, 1, mais ce n’est pas concluant : calculez celles de -2, 2, -10 et 10. Avec ces points, vous pouvez tracer la droite complète.
- Réfléchissez aux valeurs à sélectionner. Dans l’exemple précédent, vous remarquez rapidement qu’il est inutile de calculer les valeurs négatives, car le résultat est le même qu’avec la valeur opposée, positive donc : $y=5(10)^{2}+6=5(-10)^{2}+6=506$ .
5
Imaginez le tracé du graphe à ses extrémités. Si pour certaines fonctions, il est assez facile de deviner le tracé du graphe en $+\infty$ $+\infty$ et $-\infty$ $-\infty$ , pour d’autres, c’est plus compliqué (fonctions exponentielles). Il se peut même que vous ayez à trouver une asymptote verticale. Prenons la fonction classique $y=x^{2}$ $y=x^{2}$ : son graphe est une parabole. Pour les valeurs de $x$ $x$ entre - 4 et + 4, tout va bien, mais en deçà et au-delà… Vous comprenez bien que le graphe sera approximatif sur les extrémités de ses branches.
- Pour les extrémités, placez le plus de points possible (3 ou 4 de plus, de part et d’autre de l’axe de symétrie), puis tracez.
- Essayez de voir ce qui se passe en $+\infty$ et $-\infty$ et de voir si la fonction est croissante ou non.
- Si, pour une fonction rationnelle, le degré de l’inconnue est le même en haut et en bas du trait de fraction, par exemple $f(x)={\frac {x^{3}}{-2x^{3}+4}}$ , divisez les deux coefficients de la variable ( ${\frac {1}{-2}}$ ) et vous avez l’équation de votre asymptote : $y=-0,5$ ^{[6]
  X
  Source de recherche}.
- Maintenant, si les deux membres de la fraction ont une même inconnue, mais à des puissances différentes, voyez si vous ne pouvez pas simplifier la fraction en pratiquant la division des polynômes. Le résultat n’est pas garanti.
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Reliez les points dans l’ordre des abscisses. Bien entendu, vous devrez longer les asymptotes et respecter aux extrémités la forme de la courbe. Après avoir placé 5 ou 6 points et les asymptotes, vous aurez une idée de la forme de la courbe, et vous pourrez la tracer à la main.
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Servez-vous d’une calculatrice graphique. Les calculatrices graphiques sont de petits ordinateurs très pratiques. Vous entrez votre fonction et vous obtenez le tableau de variation, la pente, les points d’inflexion et surtout le graphe. La frappe de la fonction se fait avec la touche f(x) : reportez-vous à la notice de la calculatrice pour l’entrée des données et l’obtention du graphe.

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Conseils

Les calculatrices graphiques sont très intéressantes à plus d’un titre. Essayez cet exercice qui consiste pour vous à tracer le graphe d’une fonction et à vérifier avec la calculatrice la justesse de la courbe. Si elles sont identiques, c’est parfait, sinon, trouvez où est le problème.
Si vous avez du mal à trouver la forme du graphe, placez quelques points et si cela ne suffit pas, placez d’autres points, prolongez la courbe jusqu’à voir surgir la solution graphique.