Comment trouver la fonction inverse d'une fonction

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En algèbre, on rencontre de très nombreuses fonctions - $f(x)$ - et parfois, on a besoin de connaitre ce que l'on appelle sa fonction inverse (on dit aussi réciproque). La fonction inverse de $f(x)$ s'écrit ainsi : $f^{-1}(x)$ . Les deux graphes issus de ces fonctions, celle de départ et son inverse, sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

Étapes

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Assurez-vous que votre fonction est bien bijective. Seules les fonctions bijectives (à un $x$ $x$ correspond une seule image $y$ $y$ ) ont des inverses.
- Une fonction est bijective si elle satisfait au « test des deux lignes », l'une verticale, l'autre horizontale. Imaginez une ligne verticale qui se déplace et comptez le nombre de points d'intersection avec le graphe. Imaginez une ligne, horizontale cette fois, qui se déplace et comptez les points d'intersection avec le graphe. S'il n'y a qu'un seul point d'intersection sur chacune des lignes, alors la fonction est bijective.
  - Si le graphe ne coupe pas la ligne verticale, ce n'est pas une fonction.
- Une fonction bijective si elle est injective et surjective : à tout $y$ $y$ correspond un et un seul $x$ $x$ . Voyons si la fonction $f(x)=3x+5$ $f(x)=3x+5$ est bijective.
  - $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow 3x_{1}+5=3x_{2}+5\Rightarrow x_{1}=x_{2}$
  - Donc, $f(x)$ est injective.
  - $y=3x+5\Rightarrow 3x=y-5\Rightarrow x={\frac {y-5}{3}}$ (antécédent unique)
  - Donc, $f(x)$ est surjective.
- Étant à la fois injective et surjective, $f(x)$ est bijective !
2
Pour toute fonction bijective, permutez les $x$ et les $y$ . On peut dire et écrire indifféremment $f(x)$ $f(x)$ ou $y$ $y$ .
- Dans une fonction, $f(x)$ représente l'image et $x$ représente l'antécédent. Pour trouver l'inverse d'une fonction, il suffit de permuter l'image et son antécédent.
- Soit la fonction bijective $y={\frac {4x+3}{2x+5}}$ . Permutez les $x$ et les $y$ , ce qui donne :
  $x={\frac {4y+3}{2y+5}}$ .
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Isolez $y$ . Vous allez devoir travailler sur les expressions pour isoler à gauche $y$ $y$ , lequel sera alors exprimé en fonction de son antécédent $x$ $x$ .
- Selon la fonction que vous étudiez, le calcul est plus ou moins compliqué. En général, vous devez savoir développer et factoriser des expressions mathématiques. Il faut aussi parfois simplifier.
- Si l’on reprend notre exemple, voilà comment il faut procéder pour isoler $y$ $y$ :
  - on démarre de l'équation : $x={\frac {4y+3}{2y+5}}$ ;
  - $x(2y+5)=4y+3$ (multiplication de chaque côté par $2y+5$ ) ;
  - $2xy+5x=4y+3$ (développement du terme de gauche) ;
  - $2xy-4y=3-5x$ (regroupement à gauche de tous les termes contenant $y$ ) ;
  - $y(2x-4)=3-5x$ (mise en facteur de $y$ ) ;
  - $y={\frac {-5x+3}{2x-4}}$ (isolement de $y$ ).
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Remplacez $y$ par $f^{-1}(x)$ . Vous avez la fonction inverse de votre fonction de départ.
- La fonction inverse de $f(x)={\frac {4x+3}{2x+5}}$ est la fonction $f^{-1}(x)={\frac {-5x+3}{2x-4}}$ .
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