Comment trouver le périmètre d'un polygone

Coécrit par l'équipe de wikiHow

Un polygone est une figure plane délimitée par des segments rectilignes (côtés). Les polygones réguliers ont des côtés d’égale longueur, tandis que les irréguliers ont de longueurs de côtés différentes. Assez logiquement, pour calculer les périmètres des uns et des autres, il faut utiliser des méthodes différentes qui, rassurez-vous, sont faciles à mettre en œuvre. Dans un plan orthonormé, il est possible de calculer le périmètre d’un polygone, à condition d’avoir les coordonnées de tous les sommets du polygone. Pour calculer le périmètre d’un polygone régulier, la formule est simple : la longueur d’un côté doit être multipliée par le nombre de côtés.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Calculer le périmètre d’un polygone régulier

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Vérifiez que tous les côtés du polygone sont égaux en longueur. Les polygones réguliers sont des polygones ayant des côtés, quel qu’en soit le nombre, dont la longueur est la même. Si, lors de la vérification, vous trouvez un côté plus long ou plus court que les autres, alors il faudra utiliser la formule des polygones irréguliers (laquelle sera présentée plus loin). Par contre, s’ils sont tous égaux, alors, vous avez bien affaire à un polygone régulier : les angles des sommets sont aussi égaux entre eux ^{[1]
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Conseil : si certains côtés n’ont pas de longueur, ce n’est pas grave, il vous suffit d’avoir une longueur. Ainsi, si un seul côté d’un carré est signalé comme faisant x cm, vous en déduirez que tous les autres côtés, par définition, ont la même longueur.
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Inscrivez la longueur d’un des côtés. Peu importe lequel vous prenez, puisque par définition tous les côtés sont égaux. Faites attention à bien retranscrire ou mesurer ce côté. N’oubliez pas son unité ^{[2]
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- Ainsi, si votre figure est un carré de 6 cm de côté, vous inscrirez sur votre feuille de papier le chiffre 6.
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Inscrivez aussi le nombre de côtés de votre polygone. Ne vous préoccupez de rien d’autre : la deuxième étape consiste à compter et à noter le nombre de côtés qui constituent la figure ^{[3]
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- Si c’est un carré, comme sur l’illustration, vous indiquerez simplement 4.
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Multipliez le nombre de côtés par la longueur du côté. Ce faisant, vous obtiendrez le périmètre du polygone. La formule de calcul du périmètre (P) d’un polygone régulier est : P = nombre de côtés x longueur du côté. Une fois cette multiplication faite, vous obtenez directement le périmètre de la figure ^{[4]
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- Reprenons l’exemple précédent, celui du carré de 6 cm de côté. Il a 4 côtés, chacun mesurant 6 cm de long, son périmètre est de 24 cm, résultat obtenu en faisant $4\times 6\ cm$ .
- Supposons, autre exemple, que vous ayez un triangle équilatéral, c’est-à-dire ayant trois côtés et trois angles égaux, de 3 cm de côté. Le périmètre de ce triangle régulier sera de 9 cm, résultat obtenu en faisant $3\times 3\ cm$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Calculer le périmètre d’un polygone irrégulier

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Repérez les longueurs des différents côtés du polygone. Un polygone irrégulier a des angles et des côtés non égaux. Si les côtés de votre polygone sont égaux en longueur, alors vous avez affaire à un polygone régulier : vous appliquerez la formule vue dans la 1^re méthode ^{[5]
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Le savez-vous ? Il est possible de calculer le périmètre d’un polygone régulier avec la formule d’un polygone irrégulier, l’inverse n’est par contre absolument pas possible.
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Inscrivez à part les longueurs de tous les côtés du polygone. Comme ce type de polygone a des côtés non égaux, il faut comptabiliser, une à une, toutes les longueurs des côtés. Dans cette opération, il est possible que vous rencontriez des côtés d’égales longueurs, mais ils ne peuvent pas l’être tous ^{[6]
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- Supposons que vous ayez un rectangle qui a, par définition, 2 côtés opposés de 4 unités de long et 2 autres, aussi opposés, de 3 unités de long. Vous allez inscrire les données suivantes : 4, 4, 3, 3, l’ordre d’inscription n’ayant aucune importance.
- Supposons d’autre part que vous ayez un polygone irrégulier avec 3 côtés, un de 2 unités de long, un de 3 unités et un dernier de 4 unités, vous inscrirez les données suivantes : 2, 3, 4, là aussi, l’ordre d’inscription n’ayant aucune importance.
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Faites la somme de toutes les longueurs pour obtenir le périmètre. Il n’y a pas, comme dans le cas des polygones réguliers, de formule du périmètre toute faite. La démarche est cependant simple : vous partez d’un angle, vous additionnez toutes les longueurs jusqu’à revenir au point de départ et vous avez votre périmètre. Attention à ne pas compter deux fois un même segment du polygone ^{[7]
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- Reprenons notre exemple. Nous avons quatre côtés dont les longueurs sont de 4, 4, 3 et 3 unités, le périmètre de ce polygone irrégulier est donc de 14 unités.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Calculer un périmètre à l’aide de coordonnées

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Tracez un repère orthonormé avec abscisses et ordonnées. Un tel repère est constitué de deux axes (celui des abscisses, ou axe des « x », et celui des ordonnées ou axe des « y ») gradués. Pour ce repère, vous pouvez prendre du papier millimétré ou tracer un quadrillage régulier sur une feuille blanche. Passez en trait épais une ligne verticale (ordonnées) au centre de la largeur de la feuille et une autre (abscisses) du même genre, au centre cette fois de la hauteur de la feuille. Pour terminer, graduez régulièrement chacun des axes en notant 0 l’intersection des deux axes ^{[8]
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- La graduation sera positive vers la droite sur l’axe des abscisses et négative dans l’autre sens. De même, la graduation sera positive vers le haut sur l’axe des ordonnées et négative dans l’autre sens.
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Placez les points sur le repère. Vous devez avoir les coordonnées (x, y) de tous les points qui forment les sommets du polygone dont vous cherchez à connaitre le périmètre. Chaque sommet aura des coordonnées du type (1,3) ou (4,3). Le placement de ces points se fera conformément aux graduations que vous avez faites. Quand vous aurez placé tous les points, il ne vous restera plus qu’à les relier dans l’ordre donné pour dessiner le polygone ^{[9]
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Conseil : lors du placement des points, Souvenez-vous que la première coordonnée ( $x$ ) se repère selon l’axe horizontal et la seconde ( $y$ ) selon l’axe vertical. Le point de coordonnées (2,4) est situé, par rapport au point origine (0,0), à deux unités sur la droite et à 4 unités vers le haut. Il n’y a qu’un seul point qui réponde à cette position.
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Déterminez les longueurs des côtés parallèles aux axes. Le périmètre est, rappelons-le, la somme des longueurs de tous les côtés. Pour les côtés verticaux et horizontaux, c’est simple : comptez simplement le nombre de carreaux de chacun des côtés de ce type. Si cela est possible, inscrivez cette valeur directement sur votre graphe, sinon sur une feuille à part ^{[10]
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- Supposons que vous ayez un côté horizontal, partez de l’extrémité gauche de ce segment et comptez le nombre d’unités jusqu’à son extrémité droite. Si vous comptez, par exemple, 3 carreaux, le côté a 3 unités de long. Procédez de la même façon avec un segment vertical.
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Servez-vous d’une formule toute prête. Autant il est facile de compter la longueur des segments horizontaux et verticaux, autant il est difficile de le faire avec des segments obliques. Heureusement, il existe une formule prête à l’emploi pour trouver la longueur d’un segment délimité par deux points dont les coordonnées sont connues. Elle est la suivante :
$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ $d={\sqrt {(x_{{2}}-x_{{1}})^{{2}}+(y_{{2}}-y_{{1}})^{{2}}}}$ . Remplacez ( $x_{1},y_{1}$ $x_{{1}},y_{{1}}$ ) et ( $x_{2},y_{2}$ $x_{{2}},y_{{2}}$ ) par les coordonnées de vos deux points, puis faites les calculs ^{[11]
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- Supposons, comme sur l’illustration, un segment oblique délimité par les deux points de coordonnées (4,7) et (1,3). Ces valeurs rentrées dans la formule donnent l’égalité suivante : $d={\sqrt {(4-1)^{2}+(7-3)^{2}}}$ .
- Après calculs, l’égalité se présente ainsi : $d={\sqrt {16+9}}={\sqrt {25}}$ .
- Pour terminer, il vous reste à calculer ${\sqrt {25}}$ , 25 étant le carré parfait de 5. Pour conclure, le segment délimité par les points (4,7) et (1,3) a une longueur de 5 unités.
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Faites la somme des longueurs des côtés du polygone. Ce faisant, vous allez obtenir le périmètre du polygone en question. Quand le polygone n’a pas trop de côtés, il y a peu de chances de se tromper, mais s’il y en a une dizaine, nous vous conseillons de partir d’un sommet et de faire le décompte des longueurs, par exemple, dans le sens des aiguilles d’une montre.
- Dans notre exemple, nous avons un triangle rectangle et nous avons les trois longueurs suivantes : 3, 2 et 5 unités, la somme de ces longueurs donne un périmètre du triangle de 10 unités (3 + 2 + 5).
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