دالة الظل الزائدية

يُرمز لدالة الظل الزائدي بالرمز tanh [1] وهي دالة تتكون من أعداد مركبة على النحو التالي :

${\displaystyle {\begin{matrix}\tanh$ :&\mathbb {C} \setminus {\rm {i}}\pi (\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}})&\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\longmapsto &{\frac {\sinh(z)}{\cosh(z)}}\end{matrix}}}

حيث ${\displaystyle \sinh }$ هي دالة الجيب الزائدي، و ${\displaystyle \cosh }$ هي دالة جيب التمام الزائدي. هذا التعريف هو مماثل لتعريف الدوال المثلثية على غرار تعريف الجيب وجيب التمام، وعلاوة على ذلك ${\displaystyle \tanh(z)=-{\rm {i}}\tan({\rm {i}}z)}$أو ${\displaystyle \tan(z)=-{\rm {i}}\tanh({\rm {i}}z)}$.

يُمكن التعبير عن دالة الظل الزائدي باستخدام الدالة الأسية وذلك بالشكل التالي:

خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle \tanh(z)=\frac{{\rm e}^z-{\rm e}^{-z}}{{\rm e}^z+{\rm e}^{-z}}=\frac{{\rm e}^{2z}-1}{{ m e}^{2z}+1}=�rac{1-{ m e}^{-2z}}{1+{\rm e}^{-2z}}.}

بعض القيم للظل الزائدي:

• ${\displaystyle \tanh(0)=0}$
• ${\displaystyle \tanh(1)={\frac {e^{2}-1}{e^{2}+1}}}$
• ${\displaystyle \tanh(i)=i\tan(1)}$

الدالة Tanh لها جذر حقيقي ${\displaystyle x=0}$ وجذور خيالية محضة حيث: ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \quad anh(z)=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \pi \mathbb {Z} }$.

رسم بياني للدالة العكسية للظل الزائدي على جزء من ℝ.

الدالة العكسية لدالة tanh في المجال ℝ يُرمز لها بـ artanh (أو argtanh أو argth)[2]، ويُمكن تفسيرها بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \forall x\in ]-1,1[\quad \operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{2}}~\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}(\ln(1+x)-\ln(1-x)),}$

حيث ln ترمز للوغاريتم الطبيعي.

بصفة عامة، دالة tanh لها دالة عكسية معرفة على ℝ+i]–π/2, π/2[ في ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[)، بحيث:

${\displaystyle \forall v\in \mathbb {C} \setminus \left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\quad {\rm {artanh}}(v)={\frac {1}{2}}~{\rm {Log}}\left({\frac {1+v}{1-v}}\right)={\frac {1}{2}}({\rm {Log}}(1+v)-{\rm {Log}}(1-v)),}$

حيث Log يعني العامل المحدد الرئيسي في اللوغاريتم العُقدي.

بشكل أكثر دقة، لكل z من مجال تعريف الدالة tanh، العدد المركب tanh(z) هو صورة u = e^2z من خلال الدالة u ↦ v = (u – 1)/(u + 1). ومع ذلك، فإن هذه الدالة هي مقابلة لـ ℂ\{-1} في ℂ\{1} ومنه فإن v ↦ u = (1 + ت)/(1 – v) إذن ℂ\ℝ^– على ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[).

دالة الظل الزائدي هي دالة تمر قيمها تدريجيا ما بين -1 و1، وبالتالي فإنه يمكن استخدامها لتمثيل ظاهرة الانتقال التدريجي أو شيء من هذا القبيل.

بعض الظواهر (الفيزيائية والاقتصادية ...) لا يمكن وصفها من خلال دراسة دالة واحدة على مجال كامل، هذا هو الحال عادة عند دراسة حرارة مادة معينة تمر بالعديد من التغييرات في فترة زمنية محددة، مما يضطر الدارس إلى تحديد مجالين للتعريف (أو أكثر)، مع شرط أن تكون الدالتين مختلفتين في كل مجال، والملاحظ أنه يمكن للدالتين (أو للدوال) أن تكونا من نفس النوع ولكن بقيم مختلفة، وبالتالي نحصل على دالة من نوع:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}f_{1}(x){\text{ for }}x\leqslant x_{\mathrm {t} }\\f_{2}(x){\text{ for }}x>x_{\mathrm {t} }\\\end{cases}}}$

القيمة x_t هي قيمة ثابتة.

• دالة الجيب الزائدية
• دالة جيب التمام الزائدية

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي