Cómo resolver inecuaciones cuadráticas

Una inecuación cuadrática incluye un término $x^{2}$ y, por tanto, tiene dos raíces o dos puntos de intersección con el eje x. Al graficarla en un plano de coordenadas, se produce una parábola. Resolver una inecuación significa encontrar los valores de x para los que se cumple la inecuación. Puedes mostrar estas soluciones de forma algebraica o ilustrando la inecuación en una recta numérica o plano de coordenadas.

Parte 1

Parte 1 de 4:
Factorizar la inecuación

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Escribe la inecuación en su formato estándar. El formato estándar de una inecuación cuadrática es un trinomio con la estructura $ax^{2}+bx+c<0$ $ax^{{2}}+bx+c<0$ , donde $a$ $a$ , $b$ $b$ y $c$ $c$ son coeficientes cuyo valor se conoce y $a\neq 0$ $a\neq 0$ .^{[1]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, la inecuación $x(x+4)<21$ no está expresada en el formato estándar. Primero, debes usar la propiedad distributiva para multiplicar $x$ por $x+4$ . Luego, resta 21 en ambos lados de la inecuación:
  $x(x+4)<21$
  $x^{2}+4x<21$
  $x^{2}+4x-21<21-21$
  $x^{2}+4x-21<0$ .
2
Halla dos factores cuyo producto sea el primer término de la inecuación. Para factorizar la inecuación, debes encontrar dos binomios cuyo producto sea igual al formato estándar de la inecuación. Un binomio es una expresión de dos términos.^{[2]
X
Fuente de investigación} Para esto, debes aplicar el método FOIL a la inversa. Empieza por encontrar dos factores para el primer término de cada binomio.
- Por ejemplo, $x\times x=x^{2}$ , así que empieza por establecer los factores de esta forma: $(x)(x)<0$ .
3
Encuentra dos factores cuyo producto sea el tercer término en el formato estándar de la inecuación. La suma de estos dos factores también debe ser igual al segundo término de la inecuación. Es probable que tengas que aplicar un poco de ensayo y error para determinar cuáles factores cumplen con ambos requisitos. Asegúrate de prestar mucha atención a los signos negativos y positivos.
- Por ejemplo:
  - $7\times -3=-21$
  - -21 es el tercer término de la inecuación, así que los factores 7 y -3 podrían funcionar. Ahora, debes determinar si la suma de estos factores es igual al segundo término ( $4$ ) de la inecuación.
  - Debido a que $7+-3=4$ , estos dos factores cumplen con ambos requisitos. Entonces, la inecuación factorizada es $(x+7)(x-3)<0$ .

Parte 2

Parte 2 de 4:
Determinar las raíces de la inecuación

1
Determina si los factores tienen el mismo signo. Si el producto de los factores es mayor que cero según la inecuación, ambos factores serán negativos (menores que 0) o positivos (mayores que 0), ya que multiplicar tanto dos signos negativos como dos signos positivos produce un signo positivo.^{[3]
X
Fuente de investigación}
- Si la inecuación es mayor que o igual a ( $\geq$ ), menor que o igual a ( $\leq$ ), uno de los factores, o ambos, podría ser igual a cero.
- Por ejemplo, en la inecuación $(x+7)(x-3)<0$ , el producto de los factores es menor que 0, por lo cual los factores tendrán signos diferentes.
2
Determina si los factores tienen signos diferentes. Si el producto de los factores es menor que 0 según la inecuación, uno de los factores será menor que 0 o negativo y el otro será mayor que 0 o positivo. Esto se debe a que multiplicar un signo negativo por uno positivo produce un signo negativo.
- Nuevamente, si la inecuación es mayor que o igual a ( $\geq$ ) o menor que o igual a ( $\leq$ ), uno de los factores, o ambos, podría ser igual a cero.
- Por ejemplo, en la inecuación $(x+7)(x-3)<0$ , el producto de los factores es menor que 0, por lo cual los factores tendrán signos diferentes.
3
Escribe las opciones para las raíces. Escribe las opciones convirtiendo cada factor en una inecuación basándote en si tendrán el mismo signo o signos diferentes. Debe haber dos opciones.^{[4]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, anteriormente encontraste que los factores de la inecuación $(x+7)(x-3)<0$ deben tener signos diferentes. Por tanto, estas serían las opciones:
  $x+7<0$ Y $x-3>0$ . (Es decir, el primer factor será negativo y el segundo será positivo).
  O
  $x+7>0$ Y $x-3<0$ . (Es decir, el primer factor será positivo y el segundo será negativo).
4
Simplifica las raíces de la primera opción. Para simplificar, aísla la variable $x$ $x$ de cada factor. No olvides que, si multiplicas o divides una inecuación por un número negativo, debes cambiarle el signo.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, la primera opción para $(x+7)(x-3)<0$ $(x+7)(x-3)<0$ es $x+7<0$ $x+7<0$ Y $x-3>0$ $x-3>0$ .
  - Encuentra primero el valor de $x$ en $x+7<0$ :
    $x+7-7<0-7$
    $x<-7$
  - Luego, halla el valor de $x$ en $x-3>0$ :
    $x-3+3>0+3$
    $x<3$
- Entonces, las raíces simplificadas de la primera opción son $x<-7$ y $x>3$ .
5
Revisa la validez de las raíces de la primera opción. Para esto, observa si puedes combinar las raíces para crear una inecuación correcta. Si puedes encontrar valores de ambas raíces que hagan que la inecuación se cumpla, la opción es válida. Si no es así, las raíces de esta opción no son válidas.^{[6]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, en la primera opción, $x<-7$ y $x>3$ , debes determinar si hay valores que hagan que ambas inecuaciones se cumplan. Pregúntate si hay un valor que sea menor que -7 y mayor que 3. Debido a que no es posible que un número sea menor que -7 y mayor que 3 al mismo tiempo, sabes que esta opción no es válida.
6
Simplifica las raíces de la segunda opción. Aísla la variable $x$ $x$ de cada factor y no olvides cambiar el signo de la inecuación si la multiplicas o divides por un número negativo.^{[7]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, la segunda opción para $(x+7)(x-3)<0$ $(x+7)(x-3)<0$ es $x+7>0$ $x+7>0$ Y $x-3<0$ $x-3<0$ .
  - Primero, halla el valor de $x$ en $x+7>0$ :
    $x+7-7>0-7$
    $x>-7$
  - Luego, halla el valor de $x$ en $x-3<0$ :
    $x-3+3<0+3$
    $x<3$
- Entonces, las raíces simplificadas de la segunda opción son $x>-7$ y $x<3$ .
7
Revisa la validez de las raíces de la segunda opción. Si puedes encontrar valores de ambas raíces que hagan que la inecuación se cumpla, la opción es válida. Si no es así, las raíces de esta opción no son válidas.^{[8]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, la segunda opción es $x>-7$ y $x<3$ , así que debes encontrar un valor de $x$ que haga que ambas inecuaciones se cumplan. Pregúntate si hay un valor que sea mayor que -7 y menor que 3. Debido a que muchos números cumplen con estos requisitos (por ejemplo, 0), sabes que esta opción es válida. Por tanto, estas raíces son la solución de la inecuación.

Parte 3

Parte 3 de 4:
Graficar el conjunto de soluciones en una recta numérica

1
Dibuja una recta numérica. Asegúrate de dibujarla según las especificaciones. Si no las tienes, simplemente incluye ubicaciones para ambos valores de $x$ $x$ que encontraste anteriormente. Incluye unos cuantos valores más que estén por encima y por debajo de estos valores para que la recta numérica sea más fácil de interpretar.
- Por ejemplo, debido a que las raíces de la inecuación $x(x+4)<21$ son $x>-7$ y $x<3$ , dibuja una recta numérica que incluya puntos para los valores -7 y 3 de x.
2
Grafica los valores de $x$ en la recta numérica. Grafica los puntos dibujando un círculo sobre su ubicación en la recta numérica. Si la inecuación es mayor que ( $>$ $>$ ) o menor que ( $<$ $<$ ) el valor de x, dibuja un círculo abierto. Si la inecuación es mayor que o igual a ( $\geq$ $\geq$ ) o menor que o igual a ( $\leq$ $\leq$ ) el valor de x, rellena el círculo en la recta numérica, ya que los valores estarán incluidos en el conjunto.^{[9]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, debido a que las raíces con las que estás trabajando son $x>-7$ y $x<3$ , dibujarías círculos abiertos en los puntos para -7 y 3 en la recta numérica.
3
Dibuja flechas o líneas que indiquen los valores que estén incluidos. Si $x$ $x$ es mayor que el valor, dibuja una línea que apunte a la derecha de la recta numérica, ya que los valores incluidos serán mayores que $x$ $x$ . Si $x$ $x$ es menor que el valor, dibuja una línea apuntando a la izquierda en la recta numérica, ya que los valores incluidos serán menores que $x$ $x$ . Si los valores incluidos se encuentran entre dos números, dibuja una línea entre ambos puntos graficados.
- Por ejemplo, debido a que quieres mostrar que $x>-7$ pero también $x<3$ , debes dibujar una línea entre -7 y 3 en la recta numérica.

Parte 4

Parte 4 de 4:
Graficar el conjunto de soluciones en un plano de coordenadas

1
Grafica los puntos de intersección con el eje x en el plano de coordenadas. Estos son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Ambas raíces que encontraste se encuentran en el eje x.^{[10]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si la inecuación es $x^{2}+4x-21<0$ , los puntos de intersección con el eje x son $x>-7$ y $x<3$ , ya que estas son las raíces que encontraste usando la fórmula cuadrática o factorizando.
2
Halla el eje de simetría. El eje de simetría es la línea que divide la parábola por la mitad. Para encontrarlo, usa la fórmula $x={\frac {-b}{2a}}$ $x={\frac {-b}{2a}}$ , donde $a$ $a$ y $b$ $b$ corresponden a los términos de la inecuación cuadrática original.^{[11]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, para la inecuación $x^{2}+4x-21<0$ , calcularás primero $x={\frac {-4}{2(1)}}$ :
  $x={\frac {-4}{2}}$
  $x=-2$ . Entonces, el eje de simetría es la línea $x=-2$ .
3
Encuentra el vértice de la parábola. El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola. Para encontrarlo, convierte primero la inecuación original en una ecuación igual a $y$ $y$ . Luego, reemplaza en la ecuación el valor de $x$ $x$ que hayas encontrado para el eje de simetría.^{[12]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si el eje de simetría es $x=-2$ , reemplaza -2 en la ecuación y resuelve:
  $y=(-2)^{2}+4(-2)+-21$
  $y=4-8-21$
  $y=4-8-21$
  Entonces, el vértice de la parábola se encuentra en el punto $(-2,-25)$ .
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Determina la dirección de la parábola. Para saber en qué dirección se extenderá la parábola, observa el término $a$ $a$ en el formato estándar de la inecuación. Si este término es positivo, la parábola estará "boca arriba"; es decir, se extenderá hacia arriba. Si este término es negativo, la parábola estará "boca abajo", es decir, se abrirá hacia abajo.^{[13]
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Fuente de investigación}
- Debido a que el término $a$ en la inecuación $x^{2}+4x-21<0$ es positivo, la parábola estará boca arriba.
5
Dibuja la parábola con una línea sólida o punteada. Si la inecuación es mayor que o igual a ( $\geq$ $\geq$ ) o menor que o igual a ( $\leq$ $\leq$ ) la línea, dibuja la parábola con una línea sólida, ya que los valores en la línea estarán incluidos en el conjunto de soluciones. Si la inecuación es mayor que o igual a ( $>$ $>$ ) o menor que o igual a ( $<$ $<$ ) la línea, dibuja la parábola con una línea punteada, ya que los valores en la línea no estarán incluidos en el conjunto de soluciones.^{[14]
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Fuente de investigación}
- Debido a que la línea $x^{2}+4x-21<0$ es menor que cero (no menor que o igual a cero), debes dibujar la parábola con una línea punteada.
6
Sombrea el gráfico. Para saber si sombrear por encima o por debajo del eje x, observa la inecuación original. Si es menor que cero, sombrea el gráfico por debajo del eje x. Si la inecuación es mayor que cero, sombrea el gráfico por encima del eje x.^{[15]
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Fuente de investigación} Para saber si debes sombrear dentro o fuera de la parábola, observa las raíces o la recta numérica. Si los valores válidos de $x$ $x$ se encuentran entre las dos raíces, sombrea dentro de la parábola. Si los valores válidos de $x$ $x$ se encuentran fuera del rango entre las dos raíces, sombrea fuera de la parábola.^{[16]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, debido a que la inecuación es $x^{2}+4x-21<0$ , sombrearás una región que se encuentre debajo del eje x. Debido a que los valores válidos se encuentran entre las raíces -7 y 3, sombrearás la región entre estos dos puntos.