Cómo invertir una matriz de 3X3

Las funciones inversas suelen usarse en álgebra para simplificar operaciones más difíciles. Por ejemplo, si necesitas dividir entre una fracción, te será más fácil multiplicar por su inverso multiplicativo, el cual es el recíproco de esa fracción. De forma similar, si trabajas con matrices, debido a que estas no pueden dividirse, debes multiplicarlas por su inversa. En el caso de una matriz de 3 x 3, encontrar la inversa a mano puede ser tedioso pero es un procedimiento que vale la pena repasar. Otra forma fácil de encontrar la función inversa de una matriz es por medio de una calculadora gráfica.

Método 1

Método 1 de 3:
Crear una matriz de cofactores para encontrar la inversa de una matriz

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Encuentra el determinante de la matriz. Lo primero que debes hacer es calcular el determinante de la matriz. Si este es 0, aquí termina la operación, ya que esto indica que la matriz en cuestión no tiene una inversa. Por ejemplo, puedes representar el determinante de una matriz M como "det(M)".^{[1]
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Fuente de investigación}
- Si quieres encontrar la inversa de una matriz de 3 x 3, primero debes encontrar el determinante.
- Puedes repasar el procedimiento para calcular el determinante de una matriz leyendo el artículo Cómo encontrar el determinante de una matriz 3x3.
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Traspón la matriz original. Esto quiere decir crear una matriz refleja invirtiendo la original sobre la diagonal principal o intercambiando los elementos "(i,j)th" y "(j,i)th". Trasponer una matriz debe producir otra matriz que tenga la misma diagonal principal que la original (es decir, debe tener los mismos términos en la diagonal que se extiende de la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha).^{[2]
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Fuente de investigación}
- En otras palabras, reescribes la matriz de forma que la que era la primera fila sea ahora la primera columna, la que era la fila del medio sea ahora la columna del medio y la que era la tercera fila sea ahora la tercera columna. Observa los colores en el diagrama anterior para saber de qué forma debes cambiar a los números de posición.
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Calcula el determinante de cada una de las matrices más pequeñas de 2 x 2 que pueden obtenerse de la matriz traspuesta. Cada uno de los términos de la matriz de 3 x 3 que acabas de trasponer tiene una matriz de 2 x 2 correspondiente. Para encontrar la matriz de 2 x 2 que corresponda a cada término, resalta la fila y la columna en donde se encuentre el término en cuestión, asegurándote de resaltar cinco términos en total. Los cuatro términos no resaltados de la matriz conformarán la matriz de 2 x 2 que corresponde con el término cuya fila y columna hayas resaltado.^{[3]
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Fuente de investigación}
- En el ejemplo anterior, para encontrar la matriz de 2 x 2 que corresponda al término que se encuentra en la segunda fila de la primera columna, debes resaltar los dos términos restantes que conformen la segunda fila y la primera columna y el término para el cual quieras encontrar la matriz de 2 x 2. Esto dejará cuatro términos sin resaltar, los cuales conforman la matriz de 2 x 2.
- Calcula el determinante de cada una de estas matrices de 2 x 2 multiplicando los términos en diagonal y restando los productos.
- Busca en línea si quieres obtener más información sobre estas matrices más pequeñas y sus funciones.
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Crea la matriz de cofactores. Usa los resultados de los pasos anteriores para crear una matriz de cofactores nueva. Hazlo alineando el determinante de cada una de las matrices de 2 x 2 con su posición correspondiente en la matriz original. Por ejemplo, el determinante que calculaste para el término (1,1) de la matriz original debe ir en la posición (1,1) en la matriz de cofactores. Luego, cambia alternativamente el signo de los términos de esta matriz nueva según el patrón de "ajedrezado" que se muestra en la imagen anterior.^{[4]
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Fuente de investigación}
- Al determinar el signo de cada término, asegúrate de que el primer término de la primera fila tenga el mismo signo que tenía en la matriz original. Luego, cambia el signo del segundo término, deja el signo del tercer término igual al que tenía en la matriz original, y así sucesivamente con toda la matriz. Ten en cuenta que los signos "(+)" y "(-)" no indican que el término es positivo o negativo sino simplemente indican que debes conservar el mismo signo o cambiarlo según su signo original.
- Puedes buscar recursos en línea si quieres repasar el concepto de las matrices de cofactores.
- Cuando termines, obtendrás lo que se llama una matriz de cofactores de la matriz original, a la cual a veces se le llama matriz de adjuntos. Este tipo de matriz es representado por el símbolo "Adj(M)".
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Divide cada uno de los términos de la matriz de cofactores entre el determinante. En el primer paso de esta sección, calculaste el determinante de la matriz M para saber si esta tenía una función inversa. Ahora, debes dividir cada uno de los términos de la matriz de cofactores entre este número. Dispón los resultados que obtengas en el mismo lugar que sus términos correspondientes en la matriz original para obtener la inversa de esta matriz.^{[5]
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Fuente de investigación}
- En el ejemplo anterior, el determinante es 1, por lo que dividir cada uno de los términos de la matriz de cofactores entre este número dará como resultado una matriz inversa que sea igual a la matriz de cofactores, lo cual no siempre será el caso.
- En algunos materiales de consulta, en lugar de dividir los términos entre el determinante, se multiplican por "1/det(M)", lo cual es matemáticamente equivalente.
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Método 2

Método 2 de 3:
Encontrar la inversa de una matriz por medio de la reducción lineal de filas

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Adjunta la matriz identidad a la matriz original. Escribe la matriz original M y luego dibuja una línea vertical a la derecha para escribir la matriz identidad a la derecha de esta línea. Al terminar, debes tener algo similar a una matriz de tres filas y seis columnas.^{[6]
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Fuente de investigación}
- Recuerda: la matriz identidad es una matriz especial en la que todos los términos de la diagonal principal (la que se extiende de la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha) son 1 y los demás términos son 0. Puedes buscar recursos en línea si quieres repasar el concepto de las matrices identidad y sus propiedades.
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Realiza operaciones de reducción lineal. Debes escribir una matriz identidad a la izquierda de la matriz que hayas creado juntando la matriz original M y la matriz identidad. Cada vez que hagas una reducción lineal a la izquierda, debes realizar la misma operación a la derecha, la cual era originalmente la matriz identidad.^{[7]
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Fuente de investigación}
- Las reducciones lineales son una combinación de la multiplicación de escalares y sumas o restas de las filas para aislar términos individuales de la matriz. Busca recursos en línea si quieres repasar un poco más este concepto.
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Continúa de esta forma hasta obtener la matriz identidad. Repite las reducciones de filas hasta que la matriz que obtengas del lado izquierdo tenga solo números 1 y 0 en la misma disposición que en la matriz identidad original. Cuando esto ocurra, el lado derecho la línea divisora que hayas dibujado será la inversa de la matriz original.^{[8]
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Fuente de investigación}
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Escribe la matriz inversa. Transcribe los elementos que vayas obteniendo del lado derecho de la línea divisora. Estos conformarán la inversa de la matriz original.^{[9]
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Fuente de investigación}

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Método 3

Método 3 de 3:
Encontrar la inversa de una matriz usando una calculadora

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Debes usar una calculadora que respalde el trabajo con matrices. Las calculadoras de cuatro funciones no servirán. En cambio, necesitas una calculadora gráfica avanzada, como la TI-83 o la TI-86 de la empresa Texas Instruments, ya que estas pueden reducir la cantidad de cálculos que debes realizar debido a que estos suelen ser repetitivos.^{[10]
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Fuente de investigación}
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Ingresa la matriz en la calculadora. Para ello, presiona el botón para entrar en la función de matrices de la calculadora, si la hay. Si vas a trabajar con una calculadora de Texas Instruments, lo más probable es que debas presionar el botón "2^nd Matrix" ("segunda matriz" en inglés).
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Elige el submenú "Edit" ("Edición" en inglés). Para llegar allí, dependiendo de la disposición de tu calculadora, debes usar las flechas o presionar la tecla para la función adecuada en la parte superior del teclado.^{[11]
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Fuente de investigación}
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Ponle un nombre a la matriz. Por lo general, las calculadoras pueden trabajar con entre 3 y 10 matrices a la vez, a las cuales se les pueden asignar nombres con las letras de la A a la J. Puedes empezar simplemente con la A y presionar "Enter" ("Entrar" en inglés) para etiquetar a la matriz con esa letra.^{[12]
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Fuente de investigación}
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Ingresa las dimensiones de la matriz. Si bien este artículo solo aborda las matrices de 3 x 3, puedes ingresar matrices más grandes en tu calculadora. Ingresa la cantidad de filas y columnas y presiona "Enter" después de especificar cada número.^{[13]
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Fuente de investigación}
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Ingresa cada término de la matriz. Aparecerá una matriz en la pantalla de la calculadora. Si trabajaste con la función de matrices de la calculadora, en la pantalla aparecerá una matriz con las dimensiones que hayas especificado. El cursor se encontrará sobre el primer término de la matriz. Ingresa el valor que quieras y presiona "Enter" para que el cursor pase automáticamente al siguiente término. Si ya había algún número escrito, podrás borrarlo.^{[14]
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Fuente de investigación}
- Para ingresar un número negativo, usa el botón "(-)" para signos negativos y no el botón de resta para que la calculadora lo registre correctamente.
- Puedes usar las flechas de la calculadora para desplazarte a través de la matriz.
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Sal de la función de matrices. Cuando hayas ingresado todos los términos de la matriz, presiona la tecla "Quit" ("Salir" en inglés) o "2^nd Quit" dependiendo de la configuración de tu calculadora para salir de la función de matrices y regresar a la pantalla principal.^{[15]
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Fuente de investigación}
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Para encontrar la matriz inversa, usa la tecla de funciones recíprocas. Para ello, primero debes volver a ingresar a la función de matrices de la calculadora y presionar la tecla de la letra con la que hayas etiquetado a la matriz, la cual probablemente sea la letra A. Luego, presiona la tecla de funciones recíprocas, $x^{-1}$ $x^{{-1}}$ , para lo cual quizás tengas que presionar primero la tecla "2^nd" según la configuración de tu calculadora. En la pantalla, podrás ver $A^{-1}$ $A^{{-1}}$ . Luego, presiona "Enter" para obtener la inversa de la matriz.^{[16]
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Fuente de investigación}
- No trates de ingresar "A^-1" tecleando cada uno de los componentes por separado usando la tecla "^" en lugar de presionar directamente la tecla de funciones recíprocas. La calculadora no comprenderá este comando.
- Si obtienes un mensaje de error, es probable que la matriz que hayas ingresado no tenga una inversa. Para asegurarte, calcula el determinante.
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Convierte la matriz inversa en una respuesta exacta. El primer resultado que obtendrás de la calculadora será un número decimal, el cual no se considera una respuesta exacta. Por tanto, debes convertirlo en una fracción (aunque, si tienes suerte, obtendrás resultados que sean números enteros, pero esto no es lo común).^{[17]
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Fuente de investigación}
- Es probable que haya una función en tu calculadora para convertir números decimales en fracciones. Por ejemplo, en la TI-86, ingresa a la función "Math" ("matemáticas" en inglés), presiona "Misc" (abreviatura de "miscelánea"), luego "Frac" y luego "Enter" para convertir en fracciones los números decimales que hayas obtenido.
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La mayoría de las calculadoras gráficas también tienen teclas de corchetes (en TI-84 es 2do + x y 2do + -) que puedes utilizar para escribir una matriz sin la necesidad de emplear la función matriz. Nota: la calculadora no formateará la matriz hasta después de presionar la tecla Enter o igual (es decir, todo estará en una línea y no se verá bien).

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Consejos

Estos pasos también aplican para encontrar la inversa de una matriz cuyos términos sean variables, incógnitas o incluso expresiones algebraicas.
Es muy difícil encontrar la inversa de una matriz de 3 x 3, así que asegúrate de tomar nota de cada paso que sigas.
Puedes conseguir programas de computadora que puedan calcular las inversas de matrices^{[18]
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Fuente de investigación} de hasta 30 x 30.
Independientemente del método que uses, para cerciorarte de que el resultado que hayas obtenido sea el correcto, multiplica la matriz M por M^-1 para verificar que M*M^-1 = M^-1*M = I. "I" es la matriz identidad, cuyos términos son 1 a lo largo de la diagonal principal y 0 en las demás posiciones. Si no obtienes la matriz identidad, sabrás que cometiste un error en alguna etapa.

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Advertencias

Algunas matrices de 3 x 3 no tienen inversas. Puedes verificarlo fácilmente calculando el determinante. Si este es 0, la matriz no tiene una inversa. (Otra forma de verlo es que, en la fórmula usada en este artículo, se divide la matriz entre "det(M)", lo cual no es posible si el determinante es 0).

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