Comment simplifier des expressions radicales

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Une expression est dite radicale quand elle contient au moins une racine, de quelque ordre que ce soit. Même si elle n'en a pas l'air, une racine dans une expression mathématique peut être considérée comme une inconnue et comme telle, elle se doit d'être réduite à sa plus simple expression afin d'être facile à utiliser pour des calculs ultérieurs. En fonction du type et de l'emplacement de la racine, la simplification passe diverses méthodes qui peuvent être utilisées successivement pour donner une expression algébrique réduite.

Méthode 1

Méthode 1 sur 7:
Connaitre les principes de simplification

1
Apprenez quelques éléments de terminologie. La racine carrée de $n$ se note ainsi : ${\sqrt {n}}$ . Légèrement différente est sa racine cubique qui se présente ainsi : ${\sqrt[{3}]{n}}$ . En toute logique, la racine carrée de $n$ devrait figurer sous la forme :
${\sqrt[{2}]{n}}$ , mais comme on les utilise très souvent en mathématiques, le petit 2 n'a pas besoin d'être inscrit.
2
Sachez ce qu'est une expression radicale réduite. Certaines conditions doivent être remplies. Votre expression avec des racines est réduite quand vous n'avez plus :
- de fraction sous le radical,
- d'exposants fractionnaires,
- de produits de racines du même ordre,
- de racines en dénominateur dans une fraction,
- de carrés sous le radical.
3
Révisez les propriétés des racines et des puissances. En fait, les racines sont des valeurs élevées à des puissances fractionnaires. Si nécessaire, révisez la simplification et la factorisation des polynômes.

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Méthode 2

Méthode 2 sur 7:
Simplifier des racines grâce aux puissances parfaites (1^er cas)

1
Envisagez toujours que le radicande puisse être un carré parfait. Un carré parfait est simplement le produit d'une valeur par elle-même, à l'image de 81 qui est le produit de 9 par 9. Pour faire disparaitre la racine d'un carré parfait, remplacez-la entièrement par la valeur qui, élevée au carré, donne le radicande.
- À titre d'exemple, 121 est un carré parfait, puisqu'il est le résultat du produit de 11 par 11. C'est pourquoi ${\sqrt {121}}={\sqrt {11^{2}}}=11$ .
- Si vous vous destinez à faire des mathématiques, retenez quelques carrés parfaits, comme 1 (1 x1), 4 (2 x 2), 9 (3 x 3), 16 (4 x 4), 25 (5 x 5), 36 (6 x 6), 49 (7 x 7), 64 (8 x 8), 81 (9 x 9), 100 (10 x 10), 121 (11 x 11)…
2
Calculez toutes les racines cubiques des cubes parfaits. Un cube parfait est le résultat du produit d'une valeur trois fois par elle-même, à l'image de 27 qui est le produit de 3 par 3 par 3. Pour faire disparaitre la racine cubique d'un cube parfait, remplacez-la entièrement par la valeur qui, élevée au cube, donne le radicande.
- Prenons l'exemple de 343 qui est un cube parfait, puisqu'il est le triple produit de 7 (7 x 7 x 7 = 343). Donc, ${\sqrt[{3}]{343}}={\sqrt[{3}]{7^{3}}}=7$ .
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Méthode 3

Méthode 3 sur 7:
Simplifier une racine grâce aux puissances parfaites (2^e cas)

1
Décomposez le radicande en un produit de facteurs. La décomposer signifie trouver tous ses facteurs. Les facteurs d'un nombre sont tous les nombres qui divisent exactement le nombre en question. Ainsi, 20 est le produit de 5 par 4, mais il y en a d'autres. Le but est de trouver parmi les facteurs un carré parfait et pour ce faire, il faut décomposer le radicande en produits de facteurs premiers.
- Prenons ${\sqrt {45}}$ . Le radicande se décompose ainsi :
  $45=1\times 45=3\times 15=9\times 5$ . Un seul produit contient un carré parfait (9), c'est que l'on retiendra : ${\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}$ .
2
Sortez de la racine tous les carrés parfaits. Dans notre exemple, nous avons individualisé 9 que nous allons sortir de la racine. Celle-ci vaut 3, valeur que nous mettrons en coefficient de la racine restante. Si vous deviez réintégrer le coefficient sous la racine, vous le multiplieriez d'abord par lui-même, puis par la valeur restée en radicande. Avec de la pratique, vous irez vite.
- Pour nous résumer, nous avons donc :
  ${\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}={\sqrt {9}}\times {\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}$ .
3
Voyez si le radicande contient un carré parfait. Une racine carrée est par définition toujours positive, ce qui fait que : ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ . Si $a$ $a$ s'avère être une valeur positive, alors, selon une des propriétés de la valeur absolue, ${\sqrt {a^{2}}}=a$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ , et ${\sqrt {a^{2}}}=-a$ ${\sqrt {a^{2}}}=-a$ dans le cas contraire. La racine carrée d'une valeur au cube peut se décomposer en un produit de la racine de la valeur au carré par la racine de la valeur : ${\sqrt {a^{3}}}={\sqrt {a^{2}}}\times {\sqrt {a}}$ ${\sqrt {a^{3}}}={\sqrt {a^{2}}}\times {\sqrt {a}}$ .
- Tout cube parfait est le produit de deux termes dont l'un est un carré parfait et l'autre la base : $a^{3}=a^{2}(a)$ .
4
Sortez le carré parfait de la racine. La racine carrée d'une valeur au carré et la valeur elle-même. Mathématiquement, cela donne l'égalité théorique suivante : ${\sqrt {a^{3}}}=a{\sqrt {a}}$ .
5
Groupez les racines du même ordre et ayant le même radicande. Vous additionnez leurs coefficients et vous gardez la racine inchangée :
${\sqrt {2^{3}}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$ .

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Méthode 4

Méthode 4 sur 7:
Simplifier une racine grâce aux puissances fractionnaires

1
Repérez les exposants fractionnaires. Transformez-les en une racine d'ordre adéquat en utilisant la règle qui veut que : $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$ $x^{{{\frac {a}{b}}}}={\sqrt[ {b}]{x^{a}}}$ .
- Prenons comme exemple la racine 3/2 de 4, vous pouvez la transformer ainsi : ${\sqrt[{\frac {3}{2}}]{4}}={\sqrt[{2}]{4^{3}}}={\sqrt {4^{3}}}=2^{3}=8$ .
2
Sachez convertir un exposant négatif. Un tel exposant devient positif si l'on prend son inverse, ce qui donne la règle suivante : $x^{-y}={\frac {1}{x^{y}}}$ $x^{{-y}}={\frac {1}{x^{y}}}$ .
- Cette règle ne s'applique que dans les cas où $x$ et $y$ sont des valeurs numériques, entières comme fractionnaires. Si vous travaillez sur des valeurs littérales, ne touchez pas aux exposants négatifs.
3
Groupez les termes de même puissance. Simplifiez en faisant les calculs de racines et les diverses sommes.

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Méthode 5

Méthode 5 sur 7:
Simplifier une racine contenant une fraction

1
Repérez un radicande fractionnaire. Il se trouve donc sous le signe de la racine (√).
2
Remplacez ces racines de fractions par des fractions de racines. Pour y parvenir, utilisez la règle suivante : ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ ${\sqrt {{\frac {a}{b}}}}={\frac {{\sqrt {a}}}{{\sqrt {b}}}}$ .
- Cette propriété ne vaut que si $a\geq 0$ et $b>0$ . En effet, un nombre négatif n'a pas de racine et une fraction ne peut avoir de dénominateur nul.
3
Simplifiez en présence d'un carré parfait. Prenons l'exemple ${\sqrt {\frac {5}{4}}}$ . Sous forme d'un quotient de racines, cela donne : ${\sqrt {\frac {5}{4}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}$ . 4 est un carré parfait, si bien que : ${\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$ .
4
Opérez d'autres simplifications. Des expressions sont parfois complexes, comme un quotient de deux fractions. En ces cas, transformez le quotient en produit, calculez les racines, puis faites les divers calculs : le but est de simplifier les fractions.

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Méthode 6

Méthode 6 sur 7:
Simplifier un produit de racines

1
Apprenez à multiplier des racines. Si vous avez à faire le produit de deux racines, vous obtiendrez une seule racine en utilisant la propriété suivante :
${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ . C'est ainsi que : ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}={\sqrt {12}}$ ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}={\sqrt {12}}$ .
- Cette propriété ne vaut que si les radicandes sont positifs ou nuls ( $a\geq 0$ et $b\geq 0$ ). En effet, un nombre négatif n'a pas de racine et vous ne pouvez pas écrire l'égalité suivante : ${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}$ . Certes, ${\sqrt {-1}}$ est indéfini dans l'ensemble des réels ( $\mathbb {R}$ ), mais il admet une solution, le nombre $i$ , dans l'ensemble des nombres complexes ( $\mathbb {C}$ ). Si dans un problème, vous rencontrez un radicande négatif, comme avec ${\sqrt {-5}}$ , commencez par changer le signe du radicande en sortant de la racine le nombre $i$ , comme suit : ${\sqrt {-5}}={\sqrt {-1}}\times {\sqrt {5}}=i\times {\sqrt {5}}=i{\sqrt {5}}$ . Si le radicande contient une variable ( $x$ ), rien de tout cela n'est possible (la démonstration en est complexe).
- Ce qui vient d'être dit ne fonctionne que sur des racines de même ordre (carrées, cubiques…). Avec des racines d'ordres différents, comme le produit ${\sqrt {5}}\times {\sqrt[{3}]{7}}$ , transformez-les en valeurs avec la puissance correspondante : $5^{\frac {1}{2}}\times 7^{\frac {1}{3}}$ . Réduisez les exposants au même dénominateur : $5^{\frac {3}{6}}\times 7^{\frac {2}{6}}$ . Ramenez le numérateur à 1 : $125^{\frac {1}{6}}\times 49^{\frac {1}{6}}$ , puis faites le produit des bases : $6\ 125^{\frac {1}{6}}$ . Retransformez en racine :
  ${\sqrt[{6}]{6\ 125}}$ .

Méthode 7

Méthode 7 sur 7:
Rendre entier un dénominateur contenant des racines

1
Sachez qu'il ne peut y avoir de racines en dénominateur. Ce dernier doit être un entier, à la limite un polynôme.
- Si le dénominateur se résume à une seule racine, à l'image de ${\frac {x}{\sqrt {5}}}$ ${\frac {x}{{\sqrt {5}}}}$ , alors multipliez le numérateur et le dénominateur par cette même racine afin d'avoir un entier, ce qui donne dans notre exemple :
  ${\frac {x}{\sqrt {5}}}={\frac {x{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}}={\frac {x{\sqrt {5}}}{5}}$ ${\frac {x}{{\sqrt {5}}}}={\frac {x{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}}={\frac {x{\sqrt {5}}}{5}}$ .
  - Pour obtenir un dénominateur rationnel avec une racine d'ordre 3 ou supérieur, multipliez le numérateur et le dénominateur par la racine appropriée. Si le dénominateur est, par exemple, ${\sqrt[{n}]{5}}$ , alors multipliez le numérateur et le dénominateur par $({\sqrt[{n}]{5}})^{n-1}$ .
- Si le dénominateur est une somme de racines carrées, à l'image de
  $A={\frac {x}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}$ $A={\frac {x}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}$ , multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée, c'est-à-dire la même expression avec le signe opposé, ce qui donne : $A={\frac {x}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}$ $A={\frac {x}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}$ . Appliquez ensuite l'identité remarquable qui pose que :
  $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ . Avec notre exemple, nous obtenons :
  $A={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}})^{2}-({\sqrt {6}})^{2}}}$ $A={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}})^{2}-({\sqrt {6}})^{2}}}$
  $A={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{2-6}}={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{-4}}$ $A={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{2-6}}={\frac {x({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{-4}}$
  - Cette méthode fonctionne aussi avec des dénominateurs du type $5+{\sqrt {3}}$ . Il faut toujours multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. Soit l'expression
    $B={\frac {1}{5+{\sqrt {3}}}}$ , elle se simplifie comme suit :
    $B={\frac {1(5-{\sqrt {3}})}{(5+{\sqrt {3}})(5-{\sqrt {3}})}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{5^{2}-({\sqrt {3}})^{2}}}$
    $B={\frac {5-{\sqrt {3}}}{25-3}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{22}}$
  - Cette méthode marche aussi avec une somme de plusieurs racines, comme ${\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {7}}$ . Il suffit de grouper ainsi :
    $({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})+{\sqrt {7}}$ , puis de multiplier par la conjuguée
    $({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})-{\sqrt {7}}$ . Bien sûr, vous aurez encore une racine, car la réponse sera de la forme $a+b{\sqrt {30}}$ , a et b étant des nombres rationnels. Partant de là, vous continuerez en multipliant par la conjuguée et vous n'aurez plus de racine, car $(a+b{\sqrt {30}})(a-b{\sqrt {30}})$ est un nombre rationnel ( $a^{2}-30b^{2}$ ). Répétez l'opération jusqu'à complète disparition des racines.
  - Assez logiquement, un dénominateur qui serait une somme de racines d'ordres différents, comme ${\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{7}]{9}}$ peut se simplifier, comme cela a été dit dit précédemment, en utilisant l'expression conjuguée. Le résultat n'est pas immédiat et suppose d'autres calculs conjugués ou autres : on est ici dans un cas un peu complexe, mais vous devriez y arriver.
2
Simplifiez à présent le numérateur. Pour avoir simplifié le dénominateur, le numérateur se présente sous une forme complexe de sommes et de produits. Il convient dès lors de le simplifier en calculant les produits de racines et en faisant la somme de racines identiques.
3
Si le dénominateur est négatif, changez son signe. Pour cela, multipliez la fraction par ${\frac {-1}{-1}}$ . Cette dernière fraction est égale à 1, ce qui fait que la fraction de départ reste inchangée, mais les signes du numérateur et du dénominateur sont inversés et ce dernier est désormais positif.

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Conseils

Il existe des sites Internet, des calculatrices qui réduisent les expressions polynomiales, à l'image de ce site. Vous entrez votre radicande, vous cliquez sur Calculer et vous obtenez une expression réduite.
Que l'expression radicale contienne une fraction ou non, il convient de la simplifier jusqu'à sa plus simple expression. Parfois, elle est irréductible dès le départ, dans d'autres cas, il faut faire les sommes et les produits (simples, comme conjugués). Lorsque vous ne pouvez plus rien simplifier, considérez que l'expression est irréductible. Si vous avez oublié une simplification, il est possible que vous vous en aperceviez après coup, lors de calculs ultérieurs : vous simplifieriez à ce moment-là.
À la liste des conventions citées dans la première méthode, on peut ajouter qu'un dénominateur ne doit pas contenir le nombre complexe $i$ . Pour le faire disparaitre, il convient de se souvenir que : $i^{2}=-1$ . En multipliant le numérateur et le dénominateur par $i$ , vous rendez ce dernier rationnel.
Cet article fait la part belle aux racines carrées que l'on rencontre très souvent dans les exercices au lycée ou dans le Supérieur, mais il vous arrivera aussi d'être confronté à des racines n-ième. Il ne faut pas vous laisser impressionner, appliquez les propriétés de base des racines et vous devriez vous en tirer, même si les calculs sont plus longs et requièrent une plus grande attention.
Il n'existe pas vraiment, comme cela a été écrit précédemment, de forme canonique des expressions contenant des racines. Le but de la simplification est d'obtenir la forme la plus réduite. Ensuite, peu importe que vous écriviez, par exemple, $1+{\sqrt {2}}$ ou ${\sqrt {2}}+1$ . Racines ou non, l'addition est toujours commutative, et plus généralement, les règles d'algèbre s'appliquent à elles comme aux autres expressions, les polynômes pour ne citer qu'eux. Simplifier s'envisage soit dans le cadre d'une réponse finale soit d'un calcul à venir complexe.
Nous avons vu différentes façons de simplifier une expression contenant des racines. Au début, vous tâtonnerez entre faire les produits simples, multiplier par la conjuguée et additionner. Avec l'expérience, d'un coup d'œil, vous ferez les opérations dans un ordre logique.

Comment simplifier des expressions radicales

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 7:
Connaitre les principes de simplification

Méthode 2

Méthode 2 sur 7:
Simplifier des racines grâce aux puissances parfaites (1^er cas)

Méthode 3

Méthode 3 sur 7:
Simplifier une racine grâce aux puissances parfaites (2^e cas)

Méthode 4

Méthode 4 sur 7:
Simplifier une racine grâce aux puissances fractionnaires

Méthode 5

Méthode 5 sur 7:
Simplifier une racine contenant une fraction

Méthode 6

Méthode 6 sur 7:
Simplifier un produit de racines

Méthode 7

Méthode 7 sur 7:
Rendre entier un dénominateur contenant des racines

Conseils

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Comment simplifier des expressions radicales

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Méthode 1 Méthode 1 sur 7:Connaitre les principes de simplification

Méthode 2 Méthode 2 sur 7:Simplifier des racines grâce aux puissances parfaites (1er cas)

Méthode 3 Méthode 3 sur 7:Simplifier une racine grâce aux puissances parfaites (2e cas)

Méthode 4 Méthode 4 sur 7:Simplifier une racine grâce aux puissances fractionnaires

Méthode 5 Méthode 5 sur 7:Simplifier une racine contenant une fraction

Méthode 6 Méthode 6 sur 7:Simplifier un produit de racines

Méthode 7 Méthode 7 sur 7:Rendre entier un dénominateur contenant des racines

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Simplifier des racines grâce aux puissances parfaites (1^er cas)

Méthode 3

Méthode 3 sur 7:
Simplifier une racine grâce aux puissances parfaites (2^e cas)

Méthode 4

Méthode 4 sur 7:
Simplifier une racine grâce aux puissances fractionnaires

Méthode 5

Méthode 5 sur 7:
Simplifier une racine contenant une fraction

Méthode 6

Méthode 6 sur 7:
Simplifier un produit de racines

Méthode 7

Méthode 7 sur 7:
Rendre entier un dénominateur contenant des racines