Distribución normal

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (x)}$ es muy próxima a 1 y ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi (x)}$ está muy cerca de 0. Los límites elementales

${\displaystyle {\frac {x}{1+x^{2}}}\varphi (x)<1-\Phi (x)<{\frac {\varphi (x)}{x}},\qquad x>0,}$

en términos de la densidad ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ son útiles.

Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}1-\Phi (x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}$

De forma similar, usando ${\displaystyle \scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)}$ y la regla del cociente,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}(1-\Phi (x))&={\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}$

Resolviendo para ${\displaystyle \scriptstyle 1\,{-}\,\Phi (x)\,}$ proporciona el límite inferior.

La función generatriz de momentos se define como la esperanza de e^(tX). Para una distribución normal, la función generatriz de momentos es:

${\displaystyle M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{tx}\,dx=e^{\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$

como puede comprobarse al completar el cuadrado en el exponente.

La función característica se define como la esperanza de e^itX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generatriz de momentos. Para una distribución normal, la función característica es[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t;\mu ,\sigma )&{}=M_{X}(it)=\mathrm {E} \left[e^{itX}\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{itx}\,dx\\&{}=e^{i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}.\end{aligned}}}$

Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.

Si ${\displaystyle X\,\sim N(\mu ,\sigma )\,}$, entonces

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\!}$

es una variable aleatoria normal estándar: ${\displaystyle Z\,}$ ~ ${\displaystyle N(0,1)\,}$.

La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.

Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right).}$

A la inversa, si ${\displaystyle Z}$ es una distribución normal estándar, ${\displaystyle Z}$ ~ ${\displaystyle N(0,1)}$, entonces

${\displaystyle X=\sigma Z+\mu \,}$

es una variable aleatoria normal tipificada de media ${\displaystyle \mu \,}$ y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$.

La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma del valor de la función de distribución Φ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.

Los primeros momentos de la distribución normal son:

Número	Momento	Momento central	Cumulante
0	1	1
1	${\displaystyle \mu }$	0	${\displaystyle \mu }$
2	${\displaystyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
3	${\displaystyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	0	0
4	${\displaystyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\displaystyle 3\sigma ^{4}}$	0
5	${\displaystyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}}$	0	0
6	${\displaystyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}}$	${\displaystyle 15\sigma ^{6}}$	0
7	${\displaystyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}}$	0	0
8	${\displaystyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}}$	${\displaystyle 105\sigma ^{8}}$	0

Todos los cumulantes de la distribución normal, más allá del segundo, son cero.

Los momentos centrales de orden superior (2k con μ = 0) vienen dados por la fórmula

${\displaystyle E\left[X^{2k}\right]={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}.}$

Gráfica de la función de distribución de una normal con μ = 12 y σ = 3, aproximando la función de distribución de una binomial con n = 48 y p = 1/4.

El Teorema del límite central establece que bajo ciertas condiciones (como pueden ser independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita), la suma de un gran número de variables aleatorias se distribuye aproximadamente como una normal.

La importancia práctica del Teorema del límite central es que la función de distribución de la normal puede usarse como aproximación de algunas otras funciones de distribución. Por ejemplo:

• Una distribución binomial de parámetros n y p es aproximadamente normal para grandes valores de n, y p no demasiado cercano a 0 o a 1 (algunos libros recomiendan usar esta aproximación solo si np y n(1 − p) son ambos, al menos, 5; en este caso se debería aplicar una corrección de continuidad).
  La normal aproximada tiene parámetros μ = np, σ² = np(1 − p).

• Una distribución de Poisson con parámetro λ es aproximadamente normal para grandes valores de λ.
  La distribución normal aproximada tiene parámetros μ = σ² = λ.

La exactitud de estas aproximaciones depende del propósito para el que se necesiten y de la tasa de convergencia a la distribución normal. Se da el caso típico de que tales aproximaciones son menos precisas en las colas de la distribución. El Teorema de Berry-Esséen proporciona un límite superior general del error de aproximación de la función de distribución.

Las normales tienen una distribución de probabilidad infinitamente divisible: Para una distribución normal X de media μ y varianza σ² ≥ 0, es posible encontrar n variables aleatorias independientes {X₁,...,X_n} cada una con distribución normal de media μ/n y varianza σ²/n dado que la suma X₁ + . . . + X_n de estas n variables aleatorias

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,}$

tenga esta específica distribución normal (para verificarlo, úsese la función característica de convolución y la inducción matemática).

Las distribuciones normales son estrictamente estables.

La distribución normal tiene forma de familia exponencial biparamétrica con dos parámetros naturales, μ y 1/σ², y estadísticos naturales X y X². La forma canónica tiene como parámetros ${\displaystyle {\mu \over \sigma ^{2}}}$ y ${\displaystyle {1 \over \sigma ^{2}}}$ y estadísticos suficientes ${\displaystyle \sum x}$ y ${\displaystyle -{1 \over 2}\sum x^{2}.}$

De la distribución normal se derivan muchos resultados, incluyendo rangos de percentiles ("percentiles" o "cuantiles"), curvas normales equivalentes, stanines, z-scores, y T-scores. Además, un número de procedimientos de estadísticos de comportamiento están basados en la asunción de que esos resultados están normalmente distribuidos. Por ejemplo, el test de Student y el análisis de varianza (ANOVA) (véase más abajo). La gradación de la curva campana asigna grados relativos basados en una distribución normal de resultados.

Los tests de normalidad se aplican a conjuntos de datos para determinar su similitud con una distribución normal. La hipótesis nula es, en estos casos, si el conjunto de datos es similar a una distribución normal, por lo que un P-valor suficientemente pequeño indica datos no normales.

• Prueba de Kolmogórov-Smirnov
• Test de Lilliefors
• Test de Anderson–Darling
• Test de Ryan–Joiner
• Test de Shapiro–Wilk
• Normal probability plot (rankit plot)
• Test de Jarque–Bera
• Test ómnibus de Spiegelhalter

Supóngase que

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

son independientes y cada una está normalmente distribuida con media μ y varianza σ ² > 0. En términos estadísticos los valores observados de estas n variables aleatorias constituyen una "muestra de tamaño n de una población normalmente distribuida. Se desea estimar la media poblacional μ y la desviación típica poblacional σ, basándose en las valores observados de esta muestra. La función de densidad conjunta de estas n variables aleatorias independientes es

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\dots ,x_{n};\mu ,\sigma )&=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x_{i})\\&={\frac {1}{(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{n}}}\prod _{i=1}^{n}\exp {\biggl (}-{1 \over 2}{\Bigl (}{x_{i}-\mu \over \sigma }{\Bigr )}^{2}{\biggr )},\quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.\end{aligned}}}$

Como función de μ y σ, la función de verosimilitud basada en las observaciones X₁, ..., X_n es

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )={\frac {C}{\sigma ^{n}}}\exp \left(-{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right),\quad \mu \in \mathbb {R} ,\ \sigma >0,}$

con alguna constante C > 0 (de la cual, en general, se permitiría incluso que dependiera de X₁, ..., X_n, aunque desapareciera con las derivadas parciales de la función de log-verosimilitud respecto a los parámetros tenidos en cuenta, véase más abajo).

En el método de máxima verosimilitud, los valores de μ y σ que maximizan la función de verosimilitud se toman como estimadores de los parámetros poblacionales μ y σ.

Habitualmente en la maximización de una función de dos variables, se podrían considerar derivadas parciales. Pero aquí se explota el hecho de que el valor de μ que maximiza la función de verosimilitud con σ fijo no depende de σ. No obstante, encontramos que ese valor de μ, entonces se sustituye por μ en la función de verosimilitud y finalmente encontramos el valor de σ que maximiza la expresión resultante.

Es evidente que la función de verosimilitud es una función decreciente de la suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}.\,\!}$

Así que se desea el valor de μ que minimiza esta suma. Sea

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

la media muestral basada en las n observaciones. Nótese que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}&=\sum _{i=1}^{n}{\bigl (}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})+({\overline {X}}_{n}-\mu ){\bigr )}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}+2({\overline {X}}_{n}-\mu )\underbrace {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})} _{=\,0}+\sum _{i=1}^{n}({\overline {X}}_{n}-\mu )^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}+n({\overline {X}}_{n}-\mu )^{2}.\end{aligned}}}$

Solo el último término depende de μ y se minimiza por

${\displaystyle {\widehat {\mu }}_{n}={\overline {X}}_{n}.}$

Esta es la estimación de máxima verosimilitud de μ basada en las n observaciones X₁, ..., X_n. Cuando sustituimos esta estimación por μ en la función de verosimilitud, obtenemos

${\displaystyle L({\overline {X}}_{n},\sigma )={\frac {C}{\sigma ^{n}}}\exp {\biggl (}-{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over 2\sigma ^{2}}{\biggr )},\quad \sigma >0.}$

Se conviene en denotar la "log-función de verosimilitud", esto es, el logaritmo de la función de verosimilitud, con una minúscula ℓ, y tenemos

${\displaystyle \ell ({\overline {X}}_{n},\sigma )=\log C-n\log \sigma -{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over 2\sigma ^{2}},\quad \sigma >0,}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \over \partial \sigma }\ell ({\overline {X}}_{n},\sigma )&=-{n \over \sigma }+{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over \sigma ^{3}}\\&=-{n \over \sigma ^{3}}{\biggl (}\sigma ^{2}-{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}{\biggr )},\quad \sigma >0.\end{aligned}}}$

Esta derivada es positiva, cero o negativa según σ² esté entre 0 y

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{n}^{2}:={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2},}$

o sea igual a esa cantidad, o mayor que esa cantidad. (Si hay solamente una observación, lo que significa que n = 1, o si X₁ = ... = X_n, lo cual solo ocurre con probabilidad cero, entonces ${\displaystyle {\hat {\sigma }}{}_{n}^{2}=0}$ por esta fórmula, refleja el hecho de que en estos casos la función de verosimilitud es ilimitada cuando σ decrece hasta cero).

Consecuentemente esta media de cuadrados de residuos es el estimador de máxima verosimilitud de σ², y su raíz cuadrada es el estimador de máxima verosimilitud de σ basado en las n observaciones. Este estimador ${\displaystyle {\hat {\sigma }}{}_{n}^{2}}$ es sesgado, pero tiene un menor error medio al cuadrado que el habitual estimador insesgado, que es n/(n − 1) veces este estimador.

La derivada del estimador de máxima verosimilitud de la matriz de covarianza de una distribución normal multivariante es despreciable. Involucra el teorema espectral y la razón por la que puede ser mejor para ver un escalar como la traza de una matriz 1×1 que como un mero escalar. Véase estimación de la covarianza de matrices.

El estimador ${\displaystyle {\overline {X}}}$ de máxima verosimilitud de la media poblacional μ, es un estimador insesgado de la media poblacional.

El estimador de máxima verosimilitud de la varianza es insesgado si asumimos que la media de la población es conocida a priori, pero en la práctica esto no ocurre. Cuando disponemos de una muestra y no sabemos nada de la media o la varianza de la población de la que se ha extraído, como se asumía en la derivada de máxima verosimilitud de arriba, entonces el estimador de máxima verosimilitud de la varianza es sesgado. Un estimador insesgado de la varianza σ² es la cuasi varianza muestral:

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}.}$

que sigue una distribución Gamma cuando las X_i son normales independientes e idénticamente distribuidas:

${\displaystyle S^{2}\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {n-1}{2}},{\frac {2\sigma ^{2}}{n-1}}\right),}$

con media ${\displaystyle \operatorname {E} (S^{2})=\sigma ^{2}}$ y varianza ${\displaystyle \operatorname {Var} (S^{2})=2\sigma ^{4}/(n-1).}$

La estimación de máxima verosimilitud de la desviación típica es la raíz cuadrada de la estimación de máxima verosimilitud de la varianza. No obstante, ni ésta, ni la raíz cuadrada de la cuasivarianza muestral proporcionan un estimador insesgado para la desviación típica (véase estimación insesgada de la desviación típica para una fórmula particular para la distribución normal).

La intensidad de la luz de una sola fuente varía con el tiempo, así como las fluctuaciones térmicas que pueden observarse si la luz se analiza a una resolución suficientemente alta. La mecánica cuántica interpreta las medidas de la intensidad de la luz como un recuento de fotones, donde la suposición natural lleva a usar la distribución de Poisson. Cuando la intensidad de la luz se integra a lo largo de grandes periodos de tiempo mayores que el tiempo de coherencia, la aproximación Poisson - Normal es apropiada.

La normalidad es la asunción central de la teoría matemática de errores. De forma similar en el ajuste de modelos estadístico, un indicador de la bondad del ajuste es que el error residual (así es como se llaman los errores en esta circunstancia) sea independiente y normalmente distribuido. La asunción es que cualquier desviación de la normalidad necesita ser explicada. En ese sentido, en ambos, ajuste de modelos y teoría de errores, la normalidad es la única observación que no necesita ser explicada, sino que es esperada. No obstante, si los datos originales no están normalmente distribuidos (por ejemplo, si siguen una distribución de Cauchy, entonces los residuos tampoco estarán normalmente distribuidos. Este hecho es ignorado habitualmente en la práctica.

Las medidas repetidas de la misma cantidad se espera que cedan el paso a resultados que están agrupados en torno a un valor particular. Si todas las fuentes principales de errores se han tomado en cuenta, se asume que el error que queda debe ser el resultado de un gran número de muy pequeños y aditivos efectos y, por consiguiente, normal. Las desviaciones de la normalidad se interpretan como indicaciones de errores sistemáticos que no han sido tomados en cuenta. Puede debatirse si esta asunción es válida.

Una famosa observación atribuida a Gabriel Lippmann dice:^{[cita requerida]}

Todo el mundo cree en la ley normal de los errores: los matemáticos, porque piensan que es un hecho experimental; y los experimentadores, porque suponen que es un teorema matemático

Otra fuente podría ser Henri Poincaré.

Los tamaños de los animales adultos siguen aproximadamente una distribución log-normal. La evidencia y explicación basada en modelos de crecimiento fue publicada por primera vez en el libro Problemas de crecimiento relativo, de 1932, por Julian Huxley.

Las diferencias de tamaño debido a dimorfismos sexuales u otros polimorfismos de insectos, como la división social de las abejas en obreras, zánganos y reinas, por ejemplo, hace que la distribución de tamaños se desvíe hacia la lognormalidad.

La asunción de que el tamaño lineal de los especímenes biológicos es normal (más que lognormal) nos lleva a una distribución no normal del peso (puesto que el peso o el volumen es proporcional al cuadrado o el cubo de la longitud y las distribuciones gaussianas solo mantienen las transformaciones lineales). A la inversa, asumir que el peso sigue una distribución normal implica longitudes no normales. Esto es un problema porque, a priori, no hay razón por la que cualquiera de ellas (longitud, masa corporal u otras) debería estar normalmente distribuida. Las distribuciones lognormales, por otro lado, se mantienen entre potencias, así que el "problema" se desvanece si se asume la lognormalidad.

Por otra parte, hay algunas medidas biológicas donde se asume normalidad, tales como la presión sanguínea en humanos adultos. Esta asunción solo es posible tras separar a hombres y mujeres en distintas poblaciones, cada una de las cuales está normalmente distribuida.

El modelo normal de movimiento de activos no incluye movimientos extremos tales como quiebras financieras.

Ya en 1900 Louis Bachelier propuso representar los precios de cambio usando la distribución normal. Esta aproximación se ha modificado desde entonces ligeramente. A causa de la naturaleza multiplicativa del interés compuesto, los indicadores financieros como valores de mercado y precios de las materias primas exhiben un "comportamiento multiplicativo". Como tales, sus cambios periódicos (por ejemplo, cambios anuales) no son normales, sino lognormales. Esta es todavía la hipótesis más comúnmente aceptada en economía.

No obstante, en realidad las variables financieras exhiben colas pesadas y así, la asunción de normalidad infravalora la probabilidad de eventos extremos como quiebras financieras. Se han sugerido correcciones a este modelo por parte de matemáticos como Benoît Mandelbrot, quien observó que los cambios en el logaritmo durante breves periodos de tiempo (como un día) se aproximan bien por distribuciones que no tienen una varianza finita y, por consiguiente, el teorema central del límite no puede aplicarse. Más aún, la suma de muchos de tales cambios sigue una distribución de log-Levy.

A veces, la dificultad y número de preguntas en un test de inteligencia se selecciona de modo que proporcionen resultados normalmente distribuidos. Más aún, las puntuaciones "en crudo" se convierten a valores que marcan el cociente intelectual ajustándolas a la distribución normal. En cualquier caso se trata de un resultado causado deliberadamente por la construcción del test o de una interpretación de las puntuaciones que sugiere normalidad para la mayoría de la población. Sin embargo, la cuestión acerca de si la inteligencia en sí está normalmente distribuida es más complicada porque se trata de una variable latente y, por consiguiente, no puede observarse directamente.

La función de densidad de la distribución normal está estrechamente relacionada con la ecuación de difusión (homogénea e isótropa) y, por tanto, también con la ecuación de calor. Esta ecuación diferencial parcial describe el tiempo de evolución de una función de densidad bajo difusión. En particular, la función de densidad de masa

${\displaystyle \varphi _{0,t}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t\,}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2t}}\right),}$

para la distribución normal con esperanza 0 y varianza t satisface la ecuación de difusión:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{0,t}(x)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\varphi _{0,t}(x).}$

Si la densidad de masa para un tiempo t = 0 viene dada por la delta de Dirac, lo cual significa, esencialmente que toda la masa está inicialmente concentrada en un punto, entonces la función de densidad de masa en el tiempo t tendrá la forma de la función de densidad de la normal, con varianza creciendo linealmente con t. Esta conexión no es coincidencia: la difusión se debe a un movimiento browniano que queda descrito matemáticamente por un proceso de Wiener, y tal proceso en un tiempo t también resultará normal con varianza creciendo linealmente con t'.

Más generalmente, si la densidad de masa inicial viene dada por una función φ(x), entonces la densidad de masa en un tiempo t vendrá dada por la convolución de φ y una función de densidad normal.

Aplicación de la distribución normal de probabilidad acumulada a lluvias mensuales en Surinam.[12]

En la hidrología se presume que precipitaciones y descargas de ríos de larga duración (por ejemplo mensuales o anuales) siguen una distribución normal de acuerdo al teorema del límite central.[13]

La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución normal a datos de lluvia mensual y muestra los intervalos de confianza basados en la distribución binomial.

Para simulaciones por ordenador es útil, en ocasiones, generar valores que podrían seguir una distribución anormal. Hay varios métodos y el más básico de ellos es invertir la función de distribución de la normal estándar para así poder realizar la gráfica.

Se conocen otros métodos más eficientes, uno de los cuales es la transformación de Box-Muller. Un algoritmo incluso más rápido es el algoritmo zigurat. Ambos se discuten más abajo. Una aproximación simple a estos métodos es programarlos como sigue: simplemente súmense 12 desviaciones uniformes (0,1) y réstense 6 (la mitad de 12). Esto es bastante útil en muchas aplicaciones. La suma de esos 12 valores sigue la distribución de Irwin-Hall; son elegidos 12 para dar a la suma una varianza de uno, exactamente. Las desviaciones aleatorias resultantes están limitadas al rango (−6, 6) y tienen una densidad que es una doceava sección de una aproximación polinomial de undécimo orden a la distribución normal.[14]

El método de Box-Muller dice que, si tienes dos números aleatorios U y V uniformemente distribuidos en [0, 1], (por ejemplo, la salida de un generador de números aleatorios), entonces X e Y son dos variables aleatorias estándar normalmente distribuidas, donde:

${\displaystyle X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V).}$

${\displaystyle Y={\sqrt {-2\ln U}}\,\operatorname {sen}(2\pi V).}$

Esta formulación aparece porque la distribución χ² con dos grados de libertad (véase la propiedad 4, más arriba) es una variable aleatoria exponencial fácilmente generada (la cual corresponde a la cantidad lnU en estas ecuaciones). Así, un ángulo elegido uniformemente alrededor de un círculo vía la variable aleatoria V y un radio elegido para ser exponencial se transforman entonces en coordenadas x e y normalmente distribuidas.

Un método mucho más rápido que la transformación de Box-Muller, pero que sigue siendo exacto es el llamado algoritmo Zigurat, desarrollado por George Marsaglia. En alrededor del 97 % de los casos usa solo dos números aleatorios, un entero aleatorio y un uniforme aleatorio, una multiplicación y un test-si. Solo un 3 % de los casos donde la combinación de estos dos cae fuera del "corazón del zigurat", un tipo de rechazo muestral usando logaritmos, exponenciales y números aleatorios más uniformes deberían ser empleados.

Hay también alguna investigación sobre la conexión entre la rápida transformación de Hadamard y la distribución normal, en virtud de que la transformación emplea solo adición y sustracción y por el teorema central del límite los números aleatorios de casi cualquier distribución serán transformados en la distribución normal. En esta visión se pueden combinar una serie de transformaciones de Hadamard con permutaciones aleatorias para devolver conjuntos de datos aleatorios normalmente distribuidos.

La función de distribución normal se usa extensamente en computación científica y estadística. Por consiguiente, ha sido implementada de varias formas.

Abramowitz y Stegun (1964) dan la conocida como "mejor aproximación de Hastings" para Φ(x) con x > 0 con un error absoluto |ε(x)| < 7,5·10⁻⁸ (algoritmo 26.2.17):

${\displaystyle \Phi (x)=1-\phi (x){\Big (}b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+b_{4}t^{4}+b_{5}t^{5}{\Big )}+\varepsilon (x),\qquad t={\frac {1}{1+b_{0}x}},}$

donde ϕ(x) es la función de densidad de la distribución normal estándar,

${\displaystyle \phi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2}}x^{2}}}$

y las constantes son b₀ = 0,2316419, b₁ = 0,319381530, b₂ = −0,356563782, b₃ = 1,781477937, b₄ = −1,821255978, b₅ = 1,330274429.

La Biblioteca Científica GNU calcula valores de la función de distribución normal estándar usando aproximaciones por funciones racionales a trozos. Otro método de aproximación usa polinomios de tercer grado en intervalos.[15] El artículo sobre el lenguaje de programación bc proporciona un ejemplo de cómo computar la función de distribución en GNU bc.

Para una discusión más detallada sobre cómo calcular la distribución normal, véase la sección 3.4.1C. de The Art of Computer Programming (El arte de la programación por ordenador), de Knuth.

• Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial
• Calculadora Distribución normal
• Calcular la probabilidad de una distribución normal con R (lenguaje de programación)
• Implementación Real en C del algoritmo Expectation Maximization (EM) para estimar Gaussian Mixture Models (GMMs).