Cómo resolver una ecuación cúbica

En una ecuación cúbica, el exponente más alto es el 3, la ecuación tiene 3 soluciones o raíces, y la ecuación en sí tiene la forma $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Las ecuaciones cúbicas tienen un aspecto intimidante y, a diferencia de la ecuación cuadrática, resolverlas puede ser bastante difícil, pero podrás dominar incluso las ecuaciones más complicadas si usas el enfoque adecuado (y una buena cantidad de conocimientos básicos). Entre otras opciones, puedes probar con el uso de la fórmula cuadrática, buscar soluciones enteras o identificar discriminantes.

Método 1

Método 1 de 3:
Resolver ecuaciones cúbicas que no tengan una constante

1
Revisa para ver si es que la ecuación cúbica contiene una constante (un valor $d$ ). Las ecuaciones cúbicas adoptan la forma $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ , aunque el único requisito esencial es $x^{3}$ $x^{3}$ . Esto quiere decir que no es necesaria la presencia de los demás elementos para que haya una ecuación cúbica.^{[1]
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Fuente de investigación}^{[2]
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Fuente de especialista

David Jia
Tutor académico
Entrevista a especialista. 11 de mayo de 2022.}
- En caso de que la ecuación contenga una constante (un valor $d$ ), será necesario que emplees otro método para resolverla.
- En caso de que $a=0$ , la ecuación que tengas no será cúbica.^{[3]
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  Fuente de investigación}
2
Factoriza $x$ de la ecuación.^{[4]
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Fuente de especialista

David Jia
Tutor académico
Entrevista a especialista. 11 de mayo de 2022.} Debido a que la ecuación no tiene una constante, todos los términos en ella contendrán una variable $x$ $x$ , lo que significa que puede factorizarse una $x$ $x$ para así simplificar la ecuación. Hazlo y reescribe la ecuación en la forma de $x(ax^{2}+bx+c)$ $x(ax^{2}+bx+c)$ .^{[5]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, imagina que la ecuación cúbica inicial es $3x^{3}-2x^{2}+14x=0$ .
- Si factorizas $x$ , obtienes $x(3x^{2}-2x+14)=0$ .
3
Factoriza la ecuación cuadrática que obtengas, de ser posible. Muchas veces, podrás factorizar la ecuación cuadrática ( $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ ) que obtengas al factorizar $x$ $x$ . Por ejemplo, en caso de que tengas la ecuación $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ , puedes hacer lo siguiente:^{[6]
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Fuente de investigación}
- Factoriza $x$ : $x(x^{2}+5x-14)=0$ .
- Factoriza la ecuación cuadrática entre paréntesis: $x(x+7)(x-2)=0$ .
- Haz que cada uno de estos factores sea igual a $0$ . Tus soluciones serán $x=0,x=-7,x=2$ .
- También puedes factorizarlo mediante agrupación.^{[7]
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  Fuente de especialista
  
  David Jia
  Tutor académico
  Entrevista a especialista. 11 de mayo de 2022.}
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Resuelve la parte entre paréntesis usando la fórmula cuadrática en caso de que no te sea posible factorizarla manualmente. Para encontrar los valores para los cuales esta ecuación cuadrática sea igual a $0$ $0$ , puedes reemplazar $a$ $a$ , $b$ $b$ y $c$ $c$ en la fórmula cuadrática ( ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ). Hazlo y obtendrás dos de las soluciones a la ecuación cúbica.^{[8]
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Fuente de investigación}
- Siguiendo con el ejemplo, reemplaza los valores para $a$ , $b$ y $c$ ( $3$ , $-2$ y $14$ , respectivamente) en la ecuación cuadrática de la siguiente forma:
  
  ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
  
  ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$
- Solución 1:
  
  ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$
  
  ${\frac {2+12.8i}{6}}$
- Solución 2:
  ${\frac {2-12.8i}{6}}$
5
Emplea cero y las soluciones de la ecuación cuadrática como las soluciones de la ecuación cúbica. Las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones, mientras que las cúbicas tienen tres. De por sí tienes dos de estas soluciones, ya que son las que encontraste para la porción "cuadrática" del problema entre paréntesis. En los casos en los que este método de resolución por "factorización" aplique para tu ecuación, la tercera solución siempre será $0$ $0$ .^{[9]
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Fuente de investigación}
- Al factorizar la ecuación y colocarla en la forma $x(ax^{2}+bx+c)=0$ , la divides en dos factores: uno de ellos es la variable $x$ a la izquierda y el otro es la porción cuadrática entre paréntesis. En caso de que cualquiera de ellos sea igual a $0$ , toda la ecuación será igual a $0$ .
- Por tanto, ambas soluciones a la porción cuadrática entre paréntesis (que hará que esos factores sean iguales a $0$ ) constituyen soluciones a la ecuación cúbica, como también lo es $0$ en sí. Esto hará que el factor de la izquierda sea igual a $0$ .

Método 2

Método 2 de 3:
Encontrar soluciones enteras con listas de factores

1
Asegúrate de que la ecuación cúbica tenga una constante (un valor $d$ que no sea igual a cero). En caso de que la ecuación en la forma $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ tenga un valor $d$ $d$ que no sea igual a cero, factorizar la ecuación cuadrática no funcionará. Sin embargo, no debes preocuparte, ya que hay otras opciones, como la que se describe aquí.^{[10]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, considera la ecuación $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$ . En este caso, para obtener $0$ del lado derecho del signo de igual, debes sumar $6$ a ambos lados.
- En la ecuación nueva, $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$ , no es posible usar el método de la ecuación cuadrática debido a que $d=6$ .
2
Encuentra los factores de $a$ y $d$ . Para empezar a resolver la ecuación cúbica, encuentra los factores del coeficiente del término $x^{3}$ $x^{3}$ (es decir, $a$ $a$ ) y la constante al final de la ecuación (es decir, $d$ $d$ ). No olvides que los factores constituyen los números que se pueden multiplicar unos con otros para obtener otro número.^{[11]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, debido a que se puede obtener 6 a partir de la multiplicación $6\times 1$ y $2\times 3$ , esto quiere decir que 1, 2, 3 y 6 son los factores de 6.
- En el problema de muestra, $a=2$ y $d=6$ . Los factores de 2 son 1 y 2. Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
3
Divide los factores de $d$ entre los factores de $a$ . Haz una lista de los valores que se obtengan de la división de cada factor de $d$ $d$ entre cada factor de $a$ $a$ . Por lo general, esto dará como resultado muchas fracciones y unos cuantos números enteros. Las soluciones enteras a la ecuación cúbica serán ya sea uno de los números enteros en esta lista o el negativo de uno de ellos.^{[12]
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Fuente de investigación}
- En la ecuación de muestra, al dividir los factores de $d$ (1, 2, 3 y 6) entre los factores de $a$ (1 y 2) da esta lista: $6$ , $-6$ , $3$ , $-3$ , $2$ , $-2$ , $1$ y $-1$ . Las soluciones de su ecuación cúbica están en algún lugar de esta lista.
4
Reemplaza manualmente los números enteros para un enfoque más simple pero que es posible que tome más tiempo. Después de tener la lista de valores, es posible encontrar las soluciones enteras a la ecuación cúbica reemplazando cada número entero rápidamente de manera manual y encontrando los que sean iguales a $0$ $0$ . Por ejemplo, en caso de que reemplaces $1$ $1$ , obtendrás:^{[13]
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Fuente de investigación}
- $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$ o $2+9+13+6$ . Está claro que esto no es igual a $0$ , por lo que debes pasar al siguiente valor en la lista.
- En caso de que reemplaces $-1$ , obtendrás $(-2)+9+(-13)+6$ , lo cual sí es igual a $0$ . Esto quiere decir que una de las soluciones enteras es $-1$ .
5
Emplea la división sintética para un enfoque más complejo, aunque probablemente más rápido. En caso de que no quieras dedicar tiempo a reemplazar los valores uno por uno, puedes probar con un método más rápido que involucra una técnica conocida como división sintética. En esencia, debes dividir los valores enteros sintéticamente entre los coeficientes originales de $a$ $a$ , $b$ $b$ , $c$ $c$ y $d$ $d$ en la ecuación cúbica. En caso de que obtengas un resto de $0$ $0$ , el valor será una de las soluciones a la ecuación cúbica.^{[14]
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Fuente de investigación}
- La división sintética constituye un tema complejo que no puede describirse por completo en este artículo. Sin embargo, esta es una muestra en cuanto a la forma de encontrar una de las soluciones a la ecuación cúbica mediante la división sintética:
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- El resto final fue de $0$ , por lo que sabrás que una de las soluciones enteras de la ecuación cúbica es $-1$ .

Método 3

Método 3 de 3:
Emplear el enfoque del discriminante

1
Escribe los valores de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . En el caso de este método, trabajarás mucho con los coeficientes de los términos de la ecuación. Antes de empezar, registra los términos $a$ $a$ , $b$ $b$ , $c$ $c$ y $d$ $d$ de forma que no olvides cuál es cada uno.^{[15]
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Fuente de investigación}
- En el caso de la ecuación de muestra $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ , escribe $a=1$ , $b=-3$ , $c=3$ y $d=-1$ . No olvides que, en los casos en los que una variable $x$ no tenga coeficiente, se asume de manera implícita que este es $1$ .
2
Calcula el discriminante de cero mediante la fórmula adecuada. Si quieres hallar el enfoque del discriminante para encontrar la solución a una ecuación cúbica, será necesario usar una matemática complicada. Sin embargo, si sigues con cuidado el proceso, te darás cuenta de que constituye una herramienta invaluable para abordar las ecuaciones cúbicas que sean difíciles de resolver de cualquier otra forma. Empieza encontrando $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ (el discriminante de cero), que es la primera de varias cantidades importantes que se necesitarán. Para ello, reemplaza los valores apropiados en la fórmula $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ .^{[16]
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Fuente de investigación}
- El discriminante constituye tan solo un número que brinda información sobre las raíces de un polinomio (es posible que de por sí sepas el discriminante cuadrático $b^{2}-4ac$ ).
- Resuelve el problema de muestra de la siguiente forma:
  
  $b^{2}-3ac$
  
  $(-3)^{2}-3(1)(3)$
  
  $9-3(1)(3)$
  
  $9-9=0=\Delta _{0}$
3
Continúa calculando $\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ . Para la siguiente cantidad importante necesaria, $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ (el discriminante de $1$ $1$ ), se requiere un poco más de trabajo, pero la forma de encontrarla es esencialmente la misma que para $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ . Reemplaza los valores apropiados en la fórmula $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ para así obtener el valor de $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ .^{[17]
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Fuente de investigación}
- Resuelve el ejemplo de la siguiente forma:
  
  $2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$
  
  $2(-27)-9(-9)+27(-1)$
  
  $-54+81-27$
  
  $81-81=0=\Delta _{1}$
4
Calcula: $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$ $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$ . Luego, se calcula el discriminante de la ecuación cúbica a partir de los valores de $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ y $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ . En el caso de la ecuación cúbica, si el discriminante es positivo, la ecuación tendrá tres soluciones reales. En caso de que el discriminante sea cero, la ecuación tendrá ya sea una o dos soluciones reales, algunas de las cuales serán compartidas. En caso de que el discriminante sea negativo, la ecuación tendrá únicamente una solución.^{[18]
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Fuente de investigación}
- Las ecuaciones cúbicas siempre tienen una solución real, como mínimo. Esto se debe a que el gráfico siempre atravesará el eje x por lo menos una vez.
- Siguiendo con el ejemplo, debido a que $\Delta _{0}$ y $\Delta _{1}$ $=0$ , es relativamente fácil encontrar $\Delta$ . Resuelve de la siguiente forma:
  
  $(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})$
  
  $((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})$
  
  $0-0\div 27$
  
  $0=\Delta$ . Por tanto, la ecuación tiene una o dos soluciones.
5
Calcula: $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$ $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$ . El último valor importante que es necesario calcular es $C$ $C$ . Esta es una cantidad importante con la cual por fin se podrán encontrar las tres raíces. Resuelve como siempre reemplazando $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ y $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ según sea necesario.
- Siguiendo con el ejemplo, encuentra $C$ de la siguiente forma:
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}$
  
  $0=C$
6
Calcula las tres raíces usando las variables. Las raíces (o soluciones) de la ecuación cúbica se obtienen de la fórmula $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ . Allí, $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ y n equivale a 1, 2 o 3. Reemplaza los valores según sea necesario para resolverla, para lo cual se debe hacer una gran cantidad de trabajo matemático, pero deberías obtener tres soluciones viables.
- Para resolver el ejemplo, revisa la respuesta cuando n equivalga a 1, 2 y 3. Las respuestas que se obtienen de estas pruebas constituyen las posibles soluciones a la ecuación cúbica. Aquellas con las que obtengas una respuesta de 0 al reemplazarla en la ecuación serán correctas.
- Por ejemplo, al reemplazar 1 en $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ se obtiene una respuesta de 0, por lo que 1 constituye una de las soluciones a la ecuación cúbica.