تصميم التجارب

تم تطوير نظرية الاستدلال الإحصائي بواسطة تشارلز ساندرز بيرس في «الرسوم التوضيحية لمنطق العلم» (1877-1878) [4] و «نظرية الاستدلال المحتمل» (1883)، [5] المنشوران اللذان شددا على أهمية من الاستدلال العشوائية في الإحصاء.[6]

قام تشارلز س. بيرس بتعيين متطوعين عشوائيًا لتصميم مقاييس متكررة أعمى لتقييم قدرتهم على تمييز الأوزان.[7][8][9][10] ألهمت تجربة بيرس الباحثين الآخرين في علم النفس والتعليم، الذين طوروا تقليدًا بحثيًا للتجارب العشوائية في المختبرات والكتب المدرسية المتخصصة في القرن التاسع عشر.[7][8][9][10]

ساهم تشارلز س. بيرس أيضًا في أول منشور باللغة الإنجليزية حول التصميم الأمثل لنماذج الانحدار في عام 1876.[11] تم اقتراح التصميم الأمثل الرائد للانحدار متعدد الحدود من قبل جوزيف دياز جيرجون في عام 1815. في عام 1918، نشرت كيرستين سميث تصميمات مثالية للعديد من الحدود من الدرجة السادسة (وأقل).[12][13]

يعد استخدام سلسلة من التجارب، حيث قد يعتمد تصميم كل منها على نتائج التجارب السابقة، بما في ذلك القرار المحتمل لوقف التجربة، ضمن نطاق التحليل المتسلسل، وهو مجال ابتكره أبراهام والد في [14] سياق الاختبارات المتسلسلة للفرضيات الإحصائية.[15] كتب هيرمان تشيرنوف نظرة عامة على التصميمات المتسلسلة المثلى، [16] بينما تم مسح التصاميم التكيفية بواسطة إس زاكس.[17] أحد الأنواع المحددة للتصميم المتسلسل هو «ماكينات الألعاب ذات السلاحين»، المعممة على ماكينات الألعاب المتعددة، والتي قام هربرت روبنز بعمل مبكر عليها في عام 1952.[18]

يُنسب هذا المثال من تجارب التصميم إلى هارولد هوتيلينج، بناءً على أمثلة من فرانك ييتس.[16][23][24] التجارب المصممة في هذا المثال تتضمن تصميمات اندماجية.[25]

يتم قياس أوزان ثمانية أشياء باستخدام ميزان عموم ومجموعة من الأوزان القياسية. يقيس كل وزن فرق الوزن بين الأشياء الموجودة في المقلاة اليسرى وأي كائنات في المقلاة اليمنى عن طريق إضافة أوزان مُعايرة إلى المقلاة الأخف حتى يكون الميزان في حالة توازن. كل قياس له خطأ عشوائي. متوسط الخطأ هو صفر؛ الانحرافات المعيارية للتوزيع الاحتمالي للأخطاء هي نفس الرقم σ على أوزان مختلفة؛ الأخطاء في أوزان مختلفة مستقلة. تشير إلى الأوزان الحقيقية بمقدار.

${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{8}.\,}$

نحن نعتبر تجربتين مختلفتين:

1. قم بوزن كل كائن في وعاء واحد، مع ترك المقلاة الأخرى فارغة. لنفترض أن X _i هو الوزن المقاس للكائن، لأن i = 1... 8.
2. قم بأوزان الثماني وفقًا للجدول التالي ودع Y _أنا أكون الفرق المقاس لـ i = 1... 8:

${\displaystyle {\begin{array}{lcc}&{\text{left pan}}&{\text{right pan}}\\\hline {\text{1st weighing:}}&1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8&{\text{(empty)}}\\{\text{2nd:}}&1\ 2\ 3\ 8\ &4\ 5\ 6\ 7\\{\text{3rd:}}&1\ 4\ 5\ 8\ &2\ 3\ 6\ 7\\{\text{4th:}}&1\ 6\ 7\ 8\ &2\ 3\ 4\ 5\\{\text{5th:}}&2\ 4\ 6\ 8\ &1\ 3\ 5\ 7\\{\text{6th:}}&2\ 5\ 7\ 8\ &1\ 3\ 4\ 6\\{\text{7th:}}&3\ 4\ 7\ 8\ &1\ 2\ 5\ 6\\{\text{8th:}}&3\ 5\ 6\ 8\ &1\ 2\ 4\ 7\end{array}}}$

ثم القيمة المقدرة للوزن θ ₁ هي

${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{1}={\frac {Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4}-Y_{5}-Y_{6}-Y_{7}-Y_{8}}{8}}.}$

يمكن العثور على تقديرات مماثلة لأوزان العناصر الأخرى. فمثلا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\theta }}_{2}&={\frac {Y_{1}+Y_{2}-Y_{3}-Y_{4}+Y_{5}+Y_{6}-Y_{7}-Y_{8}}{8}}.\\[5pt]{\widehat {\theta }}_{3}&={\frac {Y_{1}+Y_{2}-Y_{3}-Y_{4}-Y_{5}-Y_{6}+Y_{7}+Y_{8}}{8}}.\\[5pt]{\widehat {\theta }}_{4}&={\frac {Y_{1}-Y_{2}+Y_{3}-Y_{4}+Y_{5}-Y_{6}+Y_{7}-Y_{8}}{8}}.\\[5pt]{\widehat {\theta }}_{5}&={\frac {Y_{1}-Y_{2}+Y_{3}-Y_{4}-Y_{5}+Y_{6}-Y_{7}+Y_{8}}{8}}.\\[5pt]{\widehat {\theta }}_{6}&={\frac {Y_{1}-Y_{2}-Y_{3}+Y_{4}+Y_{5}-Y_{6}-Y_{7}+Y_{8}}{8}}.\\[5pt]{\widehat {\theta }}_{7}&={\frac {Y_{1}-Y_{2}-Y_{3}+Y_{4}-Y_{5}+Y_{6}+Y_{7}-Y_{8}}{8}}.\\[5pt]{\widehat {\theta }}_{8}&={\frac {Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4}+Y_{5}+Y_{6}+Y_{7}+Y_{8}}{8}}.\end{aligned}}}$

السؤال في تصميم التجارب هو

أي تجربة أفضل؟

تباين التقديرات X 1 من 1 θ هو σ 2 إذا لم نستخدم التجربة الأولى. ولكن إذا أردنا استخدام التجربة الثانية، والتباين في التقديرات المذكورة أعلاه هو σ 2/8. وهكذا فإن التجربة الثانية تعطينا دقة 8 أضعاف لتقدير عنصر واحد، وتقدير جميع العناصر في وقت واحد، بنفس الدقة. ما تحققه التجربة الثانية بثمانية سيتطلب 64 وزنًا إذا تم وزن العناصر بشكل منفصل. ومع ذلك، لاحظ أن تقديرات العناصر التي تم الحصول عليها في التجربة الثانية بها أخطاء مرتبطة ببعضها البعض.

تتضمن العديد من مشكلات تصميم التجارب تصميمات اندماجية، كما في هذا المثال وغيره.[25]