قانون علمي

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}$

باستخدام تعريف الزخم المعمم، هناك التناظر:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {q}_{i}}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}=-{\dfrac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}}$${\displaystyle {\dfrac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}={\dfrac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}}$

ال هاميلتوني كدالة للإحداثيات والعزم المعمم له الشكل العام:

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L}$

${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)=-{\frac {\partial S}{\partial t}}}$

قوانين نيوتن للحركة

إنها حلول محدودة للنسبية. الصياغات البديلة لميكانيكا نيوتن هي ميكانيكا لاغرانج وهاملتونيان.

يمكن تلخيص القوانين من خلال معادلتين (حيث أن الأولى هي حالة خاصة من الثانية، صفر الناتج من التسارع):

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {F} _{ij}=-\mathbf {F} _{ji}}$

حيث p = زخم الجسم، Fij = القوة على الجسم i بواسطة الجسم j، Fji = القوة المؤثرة على الجسم j بواسطة الجسم i.

بالنسبة للنظام الديناميكي، تتحد المعادلتان (بشكل فعال) في واحدة:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {i} }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{\mathrm {i} \neq \mathrm {j} }\mathbf {F} _{\mathrm {ij} }\,\!}$

حيث FE = القوة الخارجية الناتجة (بسبب أي عامل ليس جزءًا من النظام). الجسد أنا لا يمارس قوة على نفسه.

${\displaystyle R_{\mu \nu }+\left(\Lambda -{\frac {R}{2}}\right)g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,\!}$

حيث Λ = ثابت كوني ، Rμν = موتر انحناء ريتشي ، Tμν = موتر الإجهاد - الطاقة ، g = موتر متري

خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle \frac{{\rm d}^2x^\lambda }{{ m d}t^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu u }�rac{{ m d}x^\mu }{{ m d}t}�rac{{ m d}x^ u }{{ m d}t} = 0\ ,}

حيث Γ هو رمز كريستوفل من النوع الثاني ، يحتوي على المقياس.

إذا كان g مجال الجاذبية و H مجال الجاذبية المغناطيسية ، فإن الحلول في هذه الحدود هي:

${\displaystyle abla\cdot \mathbf {g} =-4\pi Gho\,\!}$

${\displaystyle abla\cdot \mathbf {H} =\mathbf {0} \,\!}$

خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle abla imes \mathbf{g} = -�rac{\partial \mathbf{H}} {\partial t} \,\!}

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4}{c^{2}}}\left(-4\pi G\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {g} }{\partial t}}\right)\,\!}$

حيث ρ هي كثافة الكتلة و J هي كثافة تيار الكتلة أو تدفق الكتلة.

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v} )m\left(\mathbf {g} +\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)}$

أين م هي الكتلة المتبقية للجسيم وهي عامل لورنتز.

للكتل ذات نقطتين:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} \right|^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \,\!}$

لتوزيع كتلة غير منتظم لكثافة الكتلة المحلية ρ (r) لجسم الحجم الخامس ، يصبح هذا:

${\displaystyle \mathbf {g} =G\int _{V}{\frac {\mathbf {r} \rho \mathrm {d} {V}}{\left|\mathbf {r} \right|^{3}}}\,\!}$

بيان مكافئ لقانون نيوتن هو:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =4\pi G\rho \,\!}$

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }}\,\!}$

عندما

${\displaystyle e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}}$

هو الانحراف المركزي للمدار الإهليلجي ، للمحور شبه الرئيسي أ والمحور شبه الصغير ب ، ول هو المستقيم شبه العريض. هذه المعادلة بحد ذاتها ليست شيئًا أساسيًا ماديًا ؛ ببساطة المعادلة القطبية للقطع الناقص حيث يتم وضع القطب (أصل نظام الإحداثيات القطبية) عند بؤرة القطع الناقص ، حيث يوجد النجم المداري.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\left|\mathbf {L} \right|}{2m}}\,\!}$

حيث L هو الزخم الزاوي المداري للجسيم (أي كوكب) من الكتلة م حول بؤرة المدار ،

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G\left(m+M\right)}}a^{3}\,\!}$

حيث M هي كتلة الجسم المركزي (أي النجم).

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W\,}$

القانون الثاني للديناميكا الحرارية: هناك العديد من عبارات هذا القانون ، ولعل أبسطها هو "إنتروبيا الأنظمة المعزولة لا تتناقص أبدًا"

${\displaystyle \Delta S\geq 0}$

بمعنى أن التغييرات القابلة للعكس ليس لها أي تغيير في الإنتروبيا ، والعملية غير القابلة للعكس إيجابية ، والعملية المستحيلة سلبية.

${\displaystyle T_{A}=T_{B}\,,T_{B}=T_{C}\Rightarrow T_{A}=T_{C}\,\!}$

القانون الثالث للديناميكا الحرارية::

عندما تقترب درجة حرارة نظام ما من الصفر المطلق ، تقترب الإنتروبيا S من القيمة الدنيا C: مثل T → 0، S → C.

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{u}=L_{uu}\,\nabla (1/T)-L_{ur}\,\nabla (m/T)\!}$;

${\displaystyle \mathbf {J} _{r}=L_{ru}\,\nabla (1/T)-L_{rr}\,\nabla (m/T)\!}$.

قانون غاوس للكهرباء

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

قانون جاوس للمغناطيسية

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

قانون فاراداي

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

قانون أمبير الدائري (مع تصحيح ماكسويل)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

معادلة شرودنجر (الشكل العام): تصف الاعتماد الزمني لنظام ميكانيكي الكم.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi \right\rangle }$

هاميلتوني (في ميكانيكا الكم) H هو عامل مساعد ذاتي يعمل على فضاء الدولة ،

(انظر تدوين ديراك) هو متجه الحالة الكمومية اللحظية في الوقت t ، الموضع r ، i هو الرقم التخيلي للوحدة ، ħ = h / 2π هو ثابت بلانك المختزل.

قانون بلانك-أينشتاين: تتناسب طاقة الفوتونات مع تردد الضوء (الثابت هو ثابت بلانك ، h).

${\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega }$

الطول الموجي لـ دي بروجلي: وضع هذا أسس ازدواجية الموجة والجسيم ، وكان المفهوم الرئيسي في معادلة شرودنغر ،

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {h}{\lambda }}\mathbf {\hat {k}} =\hbar \mathbf {k} }$

مبدأ عدم اليقين في هايزنبرج: عدم اليقين في الموقع مضروبًا في عدم اليقين في الزخم هو على الأقل نصف ثابت بلانك المنخفض ، وبالمثل بالنسبة للوقت والطاقة ؛

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},\,\Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

يمكن تعميم مبدأ عدم اليقين على أي زوج من الملاحظات - انظر المقال الرئيسي.

معادلة شرودنجر (الشكل الأصلي):

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi }$

${\displaystyle \psi (\cdots \mathbf {r} _{i}\cdots \mathbf {r} _{j}\cdots )=(-1)^{2s}\psi (\cdots \mathbf {r} _{j}\cdots \mathbf {r} _{i}\cdots )}$

حيث ri هو موضع الجسيم i و s هو دوران الجسيم. لا توجد وسيلة لتتبع الجسيمات ماديًا ، فالملصقات تستخدم رياضيًا فقط لمنع الارتباك.