عديد السطوح

متعدد السطوح في الهندسة، أو كثير الوجوه (بالإنجليزية: Polyhedron)‏ ويسمى أيضا متعدد الوجوه، هو أي حيز في الفراغ محدود بسطح مستوٍ أو أكثر.[1][2][3] جمعه كثيرات الوجوه. تسمى السطوح وجوها والمستقيمات التي تتقاطع فيها يقال عنها الأحرف، ومكان تقاطع حرفين يسمى الرأس. تسمى المستقيمات الموصلة بين الرأسين في وجهين بالقطر، ويشاع تصنيف كثيرات الوجوه بعدد وجوهها.

أصل التسمية

أتت الكلمة الإنجليزية Polyhedron من اليونانية (πολύεδρον)، حيث تعني المقطع Poly «كثير» وتعني المقطع Hedron «قاعدة» أو «مقعد».

تعريف

متعدد الوجوه الهيكلية (على وجه التحديد، المعيني المعيني) رسمه ليوناردو دافنشي لتوضيح كتاب للوكا باسيولي

الأشكال المتعددة السطوح المحدبة واضحة المعالم، ولها عدة تعريفات معيارية مكافئة. ومع ذلك، فإن التعريف الرياضي الرسمي لمتعدد الوجوه غير المطلوب أن يكون محدبًا كان مشكلة. تم تقديم العديد من التعريفات لـ «متعدد السطوح» في سياقات معينة، [4] بعضها أكثر صرامة من البعض الآخر، ولا يوجد اتفاق عالمي على أي منها تختار. تستثني بعض هذه التعريفات الأشكال التي غالبًا ما تُحسب على أنها متعددات الوجوه (مثل متعدد السطوح ذاتيًا) أو تتضمن أشكالًا لا تُعتبر غالبًا متعددات الوجوه صالحة (مثل المواد الصلبة التي لا تكون حدودها متشعبة). كما لاحظ برانكو جرونباوم،

«تعود الخطيئة الأصلية في نظرية متعددات الوجوه إلى إقليدس، ومن خلال كبلر، وبوينسو، وكوشي والعديد من الآخرين... في كل مرحلة... فشل الكتاب في تحديد ما هي متعددات الوجوه».[5]

ومع ذلك، هناك اتفاق عام على أن متعدد السطوح مادة صلبة أو سطح يمكن وصفه برؤوسه (نقاط الزاوية)، والحواف (مقاطع الخط التي تربط أزواجًا معينة من الرؤوس)، والوجوه (المضلعات ثنائية الأبعاد)، وأنه يمكن في بعض الأحيان يقال أن لها حجمًا داخليًا ثلاثي الأبعاد معينًا. يمكن للمرء أن يميز بين هذه التعريفات المختلفة وفقًا لما إذا كانت تصف متعدد السطوح على أنه مادة صلبة، أو ما إذا كانت تصفها كسطح، أو ما إذا كانت تصفها بشكل أكثر تجريدية بناءً على هندسة الوقوع.[6]

تعريف شائع وساذج إلى حد ما لمتعدد السطوح هو أنه مادة صلبة يمكن تغطية حدودها بعدد محدود من المستويات [7][8] أو أنها صلبة تشكلت كاتحاد للعديد من الأشكال المتعددة السطوح المحدبة بشكل محدود.[9] تتطلب التحسينات الطبيعية لهذا التعريف أن يتم تقييد المادة الصلبة، وأن يكون لها جزء داخلي متصل، وربما أيضًا أن يكون لها حدود متصلة. يمكن تعريف أوجه مثل هذا متعدد السطوح على أنها المكونات المتصلة لأجزاء الحدود داخل كل من المستويات التي تغطيها، والحواف والرؤوس مثل مقاطع الخط والنقاط التي تلتقي فيها الوجوه. ومع ذلك، فإن المجسمات المتعددة السطوح المحددة بهذه الطريقة لا تشمل متعددات السطوح النجمية التي تعبر ذاتيًا، والتي قد لا تشكل وجوهها مضلعات بسيطة، وقد تنتمي بعض حوافها إلى أكثر من وجهين.[10]
التعريفات التي تستند إلى فكرة السطح المحيط بدلاً من المواد الصلبة شائعة أيضًا.[11] على سبيل المثال، أورورك (1993) متعدد السطوح على أنه اتحاد من المضلعات المحدبة (أوجهه)، مرتبة في الفضاء بحيث يكون تقاطع أي مضلعين هو قمة مشتركة أو حافة أو مجموعة فارغة بحيث يكون اتحادهم مشعب.[12] إذا لم يكن الجزء المستوي من هذا السطح في حد ذاته مضلعًا محدبًا، فإن أورورك يتطلب تقسيمه إلى مضلعات محدبة أصغر، مع وجود زوايا ثنائية السطح مسطحة بينهما. بشكل عام إلى حد ما، يعرّف جرونباوم متعدد السطوح الأقوعي بأنه مجموعة من المضلعات البسيطة التي تشكل مشعبًا مضمّنًا، مع كل حادث قمة إلى ثلاثة حواف على الأقل ويتقاطع كل وجهين فقط في الرؤوس والحواف المشتركة لكل منهما.[13] يعطي كرومويل متعدد الوجوه تعريفًا مشابهًا ولكن بدون قيود على الأقل ثلاثة حواف لكل رأس. مرة أخرى، هذا النوع من التعريف لا يشمل متعددات الوجوه المتقاطعة الذاتية.[14] تشكل المفاهيم المماثلة أساس التعريفات الطوبولوجية لمتعددات الوجوه، كتقسيمات فرعية لمشعب طوبولوجي إلى أقراص طوبولوجية (الوجوه) التي تتطلب تقاطعاتها الزوجية أن تكون نقاطًا (رؤوسًا)، أو أقواسًا طوبولوجية (حواف)، أو مجموعة فارغة. ومع ذلك، توجد متعددات الوجوه الطوبولوجية (حتى مع كل مثلثات الوجوه) التي لا يمكن إدراكها على أنها متعددة الوجوه أكوبتيكية.[15]
يعتمد أحد الأساليب الحديثة على نظرية المجردة متعددة السطوح. يمكن تعريف هذه المجموعات على أنها مجموعات مرتبة جزئيًا تكون عناصرها هي الرؤوس والحواف والوجوه في متعدد السطوح. يكون عنصر الرأس أو الحافة أقل من عنصر حافة أو وجه (بهذا الترتيب الجزئي) عندما تكون الرأس أو الحافة جزءًا من الحافة أو الوجه. بالإضافة إلى ذلك، يمكن للمرء أن يتضمن عنصرًا سفليًا خاصًا لهذا الترتيب الجزئي (يمثل المجموعة الفارغة) وعنصرًا علويًا يمثل متعدد السطوح بأكمله. إذا كانت أقسام الترتيب الجزئي بين العناصر ثلاثة مستويات متباعدة (أي بين كل وجه والعنصر السفلي، وبين العنصر العلوي وكل رأس) لها نفس بنية التمثيل المجرد للمضلع، فإن هذه المجموعات المرتبة جزئيًا تحمل بالضبط نفس المعلومات مثل متعدد الوجوه الطوبولوجي. ومع ذلك، غالبًا ما يتم تخفيف هذه المتطلبات، بدلاً من ذلك تتطلب فقط أن الأقسام بين العناصر بمستويين متباعدتين لها نفس البنية مثل التمثيل المجرد لقطعة خطية.[16] (هذا يعني أن كل حافة تحتوي على رأسين وتنتمي إلى وجهين، وأن كل رأس على وجه ما ينتمي إلى حافتين من ذلك الوجه.) يمكن وصف متعددات الوجوه الهندسية، المحددة بطرق أخرى، بشكل تجريدي بهذه الطريقة، ولكن من الممكن أيضًا استخدام متعددات الوجوه المجردة كأساس لتعريف متعدد السطوح الهندسية. يؤخذ إدراك متعدد السطوح المجرد عمومًا على أنه تعيين من رؤوس متعدد السطوح المجرد إلى نقاط هندسية، بحيث تكون نقاط كل وجه متحد المستوى. يمكن بعد ذلك تعريف متعدد السطوح الهندسي على أنه تحقيق متعدد السطوح المجرد.[17] كما تم النظر في الإدراك الذي يحذف متطلبات الاستواء، التي تفرض متطلبات إضافية من التناظر، أو التي تعين الرؤوس إلى مسافات ذات أبعاد أعلى.[16] على عكس التعريفات ذات الأساس الصلب والسطح، فإن هذا يعمل بشكل جيد مع متعدد السطوح النجمية. ومع ذلك، بدون قيود إضافية، يسمح هذا التعريف بتعدد السطوح المتدهور أو غير المخلص (على سبيل المثال، عن طريق تعيين جميع الرؤوس إلى نقطة واحدة) ولم تتم تسوية مسألة كيفية تقييد الإدراك لتجنب هذه الانحرافات.

في كل هذه التعريفات، يُفهم متعدد السطوح عادةً على أنه مثال ثلاثي الأبعاد للكوليتوب الأكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال، يحتوي المضلع على جسم ثنائي الأبعاد وليس له وجوه، بينما يحتوي الشكل 4 متعدد الأضلاع على جسم رباعي الأبعاد ومجموعة إضافية من «الخلايا» ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك، فإن بعض الأدبيات المتعلقة بالهندسة عالية الأبعاد تستخدم مصطلح «متعدد السطوح» ليعني شيئًا آخر: ليس متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد، ولكن شكل مختلف عن متعدد الأطوار بطريقة ما. على سبيل المثال، تحدد بعض المصادر متعدد السطوح المحدب ليكون تقاطعًا بين عدد محدود من المسافات النصفية، وأن يكون متعدد السطوح متعدد السطوح محددًا.[18][19] ما تبقى من هذه المقالة يعتبر فقط ثلاثي الأبعاد متعدد السطوح.

مميزات

منتظم رباعي السطوح صلبة أفلاطونية	صغير ثنائي الوجوه نجمي مادة صلبة كبلر-بوينسو
إيكوسيدوديكاهيدرون أرخميدس الصلبة	مكعب رباعي الوجوه كبير نجمة متعددة السطوح موحدة
ثلاثي السطوح المعيني صلبة الكاتالونية	متعدد السطوح حلقي

عدد الوجوه

يمكن تصنيف المجسمات المتعددة الوجوه وغالبًا ما يتم تسميتها وفقًا لعدد الوجوه. ويستند نظام تسمية في اليونانية الكلاسيكية، على سبيل المثال رباعي الاسطح (مجسم ذي أربعة وجوه)، خماسي الأوجه (خمسة وجوه)، المكعب (ستة وجوه)، ثلاثي السطوح (30 وجوه)، وهكذا.

للحصول على قائمة كاملة ببادئات الأرقام اليونانية، انظر بادئة عددية § جدول عدد البادئات، في عمود الأرقام الأصلية اليونانية.

التصنيف الطوبولوجي

زجاجة كلاين متعددة السطوح ذاتية التقاطع ذات وجوه رباعية

بعض متعددات الوجوه لها وجهان متميزان على سطحها. على سبيل المثال، يمكن إعطاء كل من النموذج الورقي المحدب متعدد السطوح من الداخل والخارج لونًا مختلفًا (على الرغم من أن اللون الداخلي سيكون مخفيًا عن الأنظار). هذه متعددات الوجوه قابلة للتوجيه. وينطبق الشيء نفسه على متعددات الوجوه غير المحدبة بدون تقاطعات ذاتية. يمكن تلوين بعض الأشكال المتعددة السطوح غير المحدبة ذاتيًا بنفس الطريقة ولكن بها مناطق مقلوبة «من الداخل إلى الخارج» بحيث يظهر كلا اللونين من الخارج في أماكن مختلفة؛ هذه لا تزال تعتبر قابلة للتوجيه. ومع ذلك، بالنسبة لبعض الأشكال المتعددة السطوح الأخرى ذات الوجوه البسيطة المضلعة، مثل رباعي السطوح، لا يمكن تلوين جانبي كل وجه بلونين مختلفين بحيث يكون للوجوه المجاورة ألوان متسقة. في هذه الحالة، يُقال أن متعدد السطوح غير قابل للتوجيه. بالنسبة إلى متعددات الوجوه ذات الوجوه المتقاطعة ذاتيًا، قد لا يكون من الواضح ما يعنيه أن يتم تلوين الوجوه المجاورة بشكل ثابت، ولكن بالنسبة لهذه الأشكال المتعددة السطوح، لا يزال من الممكن تحديد ما إذا كانت قابلة للتوجيه أو غير قابلة للتوجيه من خلال التفكير في مجمع خلية طوبولوجي باستخدام نفس المسافات بين رؤوسه وأطرافه ووجوهه.

يتم إعطاء تمييز أكثر دقة بين الأسطح متعددة السطوح من خلال خاصية أويلر الخاصة بهم، والتي تجمع بين عدد الرؤوس $V$ ، حواف $E$ والوجوه $F$ من متعدد الوجوه في رقم واحد $\chi$ التي تحددها الصيغة

\chi =V-E+F.\

تُستخدم نفس الصيغة أيضًا لخاصية أويلر لأنواع أخرى من الأسطح الطوبولوجية. إنه ثابت للسطح، مما يعني أنه عندما ينقسم سطح واحد إلى رؤوس وحواف ووجوه بأكثر من طريقة، فإن خاصية أويلر ستكون هي نفسها بالنسبة لهذه التقسيمات الفرعية. بالنسبة إلى متعدد السطوح المحدب، أو بشكل عام أي متعدد السطوح متصل بسطح كروي طوبولوجي، يكون دائمًا يساوي 2.[20] بالنسبة للأشكال الأكثر تعقيدًا، تتعلق خاصية أويلر بعدد الثقوب الحلقية أو المقابض أو الأغطية المتقاطعة في السطح وستكون أقل من 2.[21] كل المجسمات ذات الأرقام الفردية بخاصية أويلر غير قابلة للتوجيه. قد يكون الشكل المحدد الذي له خاصية أويلر قابلاً للتوجيه وقد لا يكون كذلك. على سبيل المثال، يحتوي كل من الحلقي ذو الفتحة الواحدة وزجاجة كلاين $\chi =0$ ، حيث يكون الأول قابلاً للتوجيه والآخر لا.

بالنسبة للعديد من (ولكن ليس كل) طرق تعريف متعدد السطوح، يجب أن يكون سطح متعدد السطوح متشعبًا. هذا يعني أن كل حافة هي جزء من حدود وجهين بالضبط (عدم السماح بأشكال مثل اتحاد مكعّبين يلتقيان فقط على طول حافة مشتركة) وأن كل رأس هو نتيجة لدورة متناوبة واحدة من الحواف والوجوه (عدم السماح بأشكال مثل اتحاد مكعبين يشتركان في رأس واحد فقط). بالنسبة إلى متعددات الوجوه المحددة بهذه الطرق، يشير تصنيف المشعبات إلى أن النوع الطوبولوجي للسطح يتم تحديده تمامًا من خلال الجمع بين خاصية أويلر وقابلية التوجيه. على سبيل المثال، يجب أن يكون كل متعدد الوجوه يكون سطحه متشعبًا قابلاً للتوجيه وخاصية أويلر الخاصة به 2 عبارة عن كرة طوبولوجية.

متعدد السطوح الحلقي هو متعدد السطوح تكون خصائص أويلر أقل من أو تساوي 0، أو مكافئها جنسها هو 1 أو أكبر. من الناحية الطوبولوجية، فإن أسطح هذه متعددات الوجوه عبارة عن أسطح حلقية بها ثقب واحد أو أكثر من خلال الوسط.

الازدواجية

الثماني الوجوه مزدوج للمكعب

لكل متعدد السطوح محدب، يوجد متعدد السطوح مزدوج

وجوه بدلاً من رؤوس النسخة الأصلية والعكس صحيح.
نفس عدد الحواف.

يمكن الحصول على ثنائي متعدد السطوح المحدب من خلال عملية التبادل القطبي.[22] توجد متعددات الوجوه المزدوجة في أزواج، ومزدوجة الوجوه المزدوجة هي مجرد متعدد السطوح الأصلي مرة أخرى. بعض متعدد السطوح هو مزدوج ذاتي، مما يعني أن ثنائي متعدد السطوح متطابق مع متعدد السطوح الأصلي.[23]

تحتوي المجردة متعددة السطوح أيضًا على ثنائيات، والتي ترضي بالإضافة إلى أنها تتمتع بنفس خاصية أويلر وقابلية التوجيه مثل متعدد السطوح الأولي. ومع ذلك، فإن هذا الشكل من الازدواجية لا يصف شكل متعدد الوجوه المزدوج، ولكن فقط هيكله الاندماجي. بالنسبة لبعض تعريفات متعدد السطوح الهندسية غير المحدبة، توجد متعددة السطوح التي لا يمكن إدراك ثنائياتها المجردة على أنها متعددة السطوح الهندسية تحت نفس التعريف.

أرقام فيرتكس

يمكن للمرء تحديد شكل قمة، والذي يصف الهيكل المحلي لمتعدد السطوح حول الرأس. تختلف التعريفات الدقيقة، ولكن يمكن اعتبار شكل الرأس على أنه المضلع المكشوف حيث تقطع الشريحة عبر متعدد السطوح الزاوية.[11] إذا كان شكل الرأس عبارة عن مضلع منتظم، فيُقال إن الرأس نفسه منتظم.

الصوت

تحتوي المواد الصلبة متعددة السطوح على كمية مرتبطة بها تسمى الحجم الذي يقيس مقدار المساحة التي تشغلها. قد تحتوي العائلات البسيطة من المواد الصلبة على صيغ بسيطة لأحجامها؛ على سبيل المثال، يمكن بسهولة التعبير عن أحجام الأهرامات والمنشورات ومتوازي السطوح من حيث أطوال حوافها أو إحداثيات أخرى. (راجع المجلد § صيغ الحجم للحصول على قائمة تتضمن العديد من هذه الصيغ.)

قد لا تحتوي أحجام متعددات الوجوه الأكثر تعقيدًا على صيغ بسيطة. يمكن حساب أحجام متعددات الوجوه هذه عن طريق تقسيم متعدد السطوح إلى أجزاء أصغر (على سبيل المثال، عن طريق التثليث). على سبيل المثال، يمكن حساب حجم متعدد السطوح المنتظم بتقسيمه إلى أهرامات متطابقة، بحيث يكون لكل هرم وجه متعدد السطوح كقاعدته ويكون مركز متعدد السطوح قمته.

بشكل عام، يمكن أن يُشتق من نظرية التباعد أن حجم المادة الصلبة متعددة السطوح يُعطى بواسطة

{\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,

حيث المبلغ هو أكثر يواجه $F$ من متعدد الوجوه، $Q F$ هو إجراء تعسفي نقطة على وجهه $F$ $N F$ هو متجه الوحدة عمودي $F$ مشيرا خارج الصلبة، ونقطة الضرب هو نقطة المنتج.[24] في الأبعاد الأعلى، قد يكون حساب الحجم صعبًا، ويرجع ذلك جزئيًا إلى صعوبة سرد وجوه متعدد السطوح المحدب المحدد فقط من خلال رؤوسه، وهناك خوارزميات متخصصة لتحديد الحجم في هذه الحالات.[25]

ثابت ديهن

تؤكد نظرية مبرهنة بوياي أن أي مضلع يمكن تحويله إلى أي مضلع آخر في نفس المنطقة عن طريق تقطيعه إلى عدد محدود من القطع متعددة الأضلاع وإعادة ترتيبها. كان السؤال المماثل بالنسبة لمتعدد الوجوه موضوع مشكلة هيلبرت الثالثة. حل ماكس ديهن هذه المشكلة من خلال إظهار أنه، على عكس الحالة ثنائية الأبعاد، توجد متعددات الوجوه من نفس الحجم لا يمكن تقطيعها إلى متعددات وجوه أصغر وإعادة تجميعها في بعضها البعض. لإثبات هذا اكتشف دهن قيمة أخرى مرتبطة بمتعدد الوجوه، ثابت دهن، بحيث لا يمكن تشريح اثنين من متعددات الوجوه إلى بعضهما البعض إلا عندما يكون لهما نفس الحجم ونفس ثابت دهن. ثبت فيما بعد من قبل سيدلرأن هذا هو العائق الوحيد للتشريح: يمكن تقطيع كل اثنين من متعددات الوجوه الإقليدية مع نفس الأحجام وثوابت دهن وإعادة تجميعها في بعضها البعض.[26] ثابت دهن ليس رقمًا، ولكنه متجه في فضاء متجه لا نهائي الأبعاد.[27]

مشكلة أخرى لهيلبرت، وهي مشكلة هيلبرت الثامنة عشرة، تتعلق (من بين أمور أخرى) بمعدلات السطوح تلك المساحة المربعة. يجب أن يكون لكل متعدد الوجوه من هذا القبيل الصفر الثابت ديهن.[28] تم ربط ثابت دهن أيضًا بمتعددة السطوح المرنة من خلال نظرية الخوار القوية، التي تنص على أن ثابت دهن لأي متعدد الوجوه المرن يظل ثابتًا أثناء ثنيه.[29]

متعدد الوجوه المحدب

كتل محدبة متعددة السطوح معروضة في متحف يونيفيرسم في مكسيكو سيتي

المادة الصلبة ثلاثية الأبعاد هي مجموعة محدبة إذا كانت تحتوي على كل مقطع خطي يربط بين نقطتين من نقطته. متعدد السطوح المحدب هو متعدد الوجوه الذي، كمادة صلبة، يشكل مجموعة محدبة. يمكن أيضًا تعريف متعدد السطوح المحدب على أنه تقاطع محدود من عدة مسافات نصفية محدودة، أو كبدن محدب للعديد من النقاط بشكل محدود.

تشمل الفئات المهمة من متعددات الوجوه المحدبة المواد الصلبة الأفلاطونية شديدة التناظر، والمواد الصلبة الأرميدية وثنائياتها، المواد الصلبة الكتالونية، والمواد الصلبة ذات الوجه العادي من جونسون.

تناظرات

العديد من متعددات الوجوه الأكثر دراسة متناظرة للغاية، أي أن مظهرها لا يتغير عن طريق بعض الانعكاس أو دوران الفضاء. قد يغير كل تناظر موقع رأس أو وجه أو حافة معينة، لكن مجموعة جميع الرؤوس (مثل الوجوه والحواف) لم تتغير. تسمى مجموعة تماثلات متعدد الوجوه مجموعة التناظر.

يُقال إن جميع العناصر التي يمكن أن تُركب على بعضها البعض بواسطة التماثلات تشكل مدارًا تناظرًا. على سبيل المثال، تقع جميع أوجه المكعب في مدار واحد، بينما تقع جميع الحواف في مدار آخر. إذا كانت جميع عناصر بُعد معين، لنقل جميع الوجوه، تقع في نفس المدار، فيُقال إن الشكل متعد في هذا المدار. على سبيل المثال، يكون المكعب عابرًا للوجه، بينما يحتوي المكعب المقطوع على مداري تناظر من الوجوه.

قد يدعم نفس الهيكل المجرد أكثر أو أقل من الأشكال المتعددة السطوح الهندسية. ولكن عندما يتم إعطاء اسم متعدد السطوح، مثل ثنائي عشرية الوجوه، فإن الهندسة الأكثر تماثلًا تكون ضمنية دائمًا تقريبًا، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

هناك عدة أنواع من متعدد الوجوه شديد التناظر، مصنفة حسب نوع العنصر - الوجوه، أو الحواف، أو الرؤوس - التي تنتمي إلى مدار تناظر واحد:

عادي: قمة الرأس متعدية، ومتعددة الأطراف ومتعددة الوجه. (هذا يعني أن كل وجه هو نفس المضلع المنتظم؛ هذا يعني أيضًا أن كل رأس منتظم.)
شبه منتظم: قمة الرأس متعدية وحافة متعدية (وبالتالي لها وجوه عادية) ولكن ليس الوجه متعدٍ. الثنائي شبه العادي هو عابر للوجه ومتعدٍ للحافة (ومن ثم فإن كل رأس يكون منتظمًا) ولكنه ليس عابرًا للقمة.
شبه منتظم: قمة الرأس متعدية لكن ليست متعدية الأطراف، وكل وجه عبارة عن مضلع منتظم. (هذا واحد من عدة تعريفات للمصطلح، اعتمادًا على المؤلف. تتداخل بعض التعريفات مع الفئة شبه العادية.) تشمل هذه متعددات الوجوه المنشورات شبه الدائرية والمضادات. الثنائية شبه العادية هي انتقالية للوجه ولكنها ليست متعدية الرأس، وكل رأس يكون منتظمًا.
موحد: قمة الرأس متعدية وكل وجه عبارة عن مضلع منتظم، أي أنه منتظم أو شبه منتظم أو شبه منتظم. الازدواج المنتظم هو متعد للوجه وله رؤوس منتظمة، ولكنه ليس بالضرورة عابرًا للرأس.
متساوي: قمة الرأس متعدية.
متساوي السموم: حافة متعدية.
إيزوهيدرال: وجه متعد.
نوبل: وجه متعدٍ ومتعدٍ للرأس (لكن ليس بالضرورة أن يكون متعدّدًا للحافة). كما أن المجسمات المتعددة الوجوه المنتظمة نبيلة. هم الوحيدون متعدد الوجوه النبيلة موحدة. ثنائيات متعددات الوجوه النبيلة هي نفسها نبيلة.

تحتوي بعض فئات متعددات الوجوه على محور تناظر رئيسي واحد فقط. وتشمل هذه الأهرامات، وهرم مزدوج، وشبه منحرف، والقباب، وكذلك المنشورات شبه الدائرية والمضادات.

متعددات الوجوه العادية

تعد متعددات الوجوه المنتظمة هي الأكثر تناظرًا. إجمالاً، هناك تسعة متعددات وجوه منتظمة: خمسة مجسمات وأربعة نجوم.

عُرفت الأمثلة الخمسة المحدبة منذ العصور القديمة وتسمى بالمواد الصلبة الأفلاطونية. هذه هي الهرم الثلاثي أو الرباعي السطوح، المكعب، المجسم الثماني، الثنعشري والعشروني الوجوه:

هناك أيضًا أربع مجسمات نجمية منتظمة، تُعرف باسم متعدد السطوح كبلر – بوينسوت نسبةً لمكتشفيها.

كما أن ثنائي متعدد السطوح منتظم منتظم.

المجسمات المتعددة السطوح وثنائياتها

متعددات الوجوه المنتظمة هي متعدية الرؤوس وكل وجه عبارة عن مضلع منتظم. يمكن تقسيمها إلى العادية أو شبه العادية أو شبه العادية، وقد تكون محدبة أو مرصعة بالنجوم.

إن ثنائيات المجسمات المتعددة السطوح المنتظمة لها وجوه غير منتظمة ولكنها متقاطعة للوجه، وكل شكل قمة هو مضلع منتظم. متعدد السطوح المنتظم له نفس مدارات التناظر مثل مداراته المزدوجة، مع تبديل الوجوه والرؤوس ببساطة. تسمى ثنائيات مجسمات أرخميدس المحدبة أحيانًا بالمواد الصلبة الكاتالونية.

تُصنف متعددات الوجوه المنتظمة وثنائياتها بشكل تقليدي وفقًا لدرجة التناظر، وما إذا كانت محدبة أم لا.

	زي محدب	زي محدب مزدوج	ستار موحد	ستار موحد مزدوج
عادي	المواد الصلبة الأفلاطونية		متعدد السطوح كبلر وبوينسو
شبه دائري	المواد الصلبة أرخميدس	المواد الصلبة الكاتالونية	متعدد السطوح نجمة موحدة
نصف دائري	المواد الصلبة أرخميدس	المواد الصلبة الكاتالونية	متعدد السطوح نجمة موحدة
	الموشورات	بيبيراميدز	مناشير النجوم	نجمة بيبراميدز
	الانتقادات	شبه منحرف	منشور مضاد	نجمة شبه منحرفة

الإيسوهيدرون

الإيسوهيدرون هو متعدد الوجوه مع تماثلات تعمل بشكل عابر على وجوهها. يمكن تمثيل طوبولوجيتها من خلال تكوين الوجه. جميع المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة و 13 مادة صلبة كاتالونية هي إيزوهيدرا، بالإضافة إلى العائلات اللانهائية من شبه المنحرفين وهرم مزدوج. تسمح بعض إيزوهيدرا بالاختلافات الهندسية بما في ذلك الأشكال المقعرة وذاتية التقاطع.

مجموعات التماثل

التناظر الكامل عشروني الوجوه يقسم الكرة إلى 120 مجالًا مثلثيًا.

تمت تسمية العديد من التناظرات أو مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد على اسم متعددات الوجوه التي لها التناظر المرتبط بها. وتشمل هذه:

(T) - التناظر اللولبي رباعي السطوح؛ مجموعة الدوران لرباعي السطوح المنتظم.
(T_d)- تناظر رباعي السطوح كامل؛ مجموعة التناظر لرباعي السطوح المنتظم.
(T_h)- تناظر بيريتوهيدرون؛ تناظر مجسم بيريوسيدرون.
(O) - التناظر اللولبي ثماني السطوح؛ مجموعة دوران المكعب وثماني الوجوه.
(O_h)- تناظر ثماني السطوح الكامل؛ مجموعة التناظر للمكعب والثماني الوجوه.
(I) - التناظر اللولبي إيكوساهدرا؛ مجموعة دوران العشروني الوجوه والثنعشري.
(I_h) - التناظر الكامل عشروني الوجوه؛ مجموعة التماثل من العشروني الوجوه والثنعشري.
(C _nv) - تناظر هرمي أضعاف.
(D _nh)- تناظر موشوري.
(D _nv) - تناظر مضاد للثني.

أولئك الذين لديهم التناظر اللولبي ليس لديهم تناظر انعكاسي وبالتالي لديهم شكلين متشابهين يمثلان انعكاسات لبعضهما البعض. وتشمل الأمثلة مكعبة الوجوه وثنائي عشرية الوجوه.

عائلات أخرى مهمة من متعددات الوجوه

متعددات الوجوه ذات الوجوه المنتظمة

إلى جانب متعددات الوجوه المنتظمة والمنتظمة، هناك بعض الفئات الأخرى التي لها وجوه منتظمة ولكن لها تماثل إجمالي أقل.

وجوه منتظمة متساوية

يمكن العثور على الأشكال المتعددة السطوح المحدبة حيث يكون كل وجه من نفس النوع من المضلع المنتظم بين ثلاث عائلات:

المثلثات: تسمى هذه متعددات الوجوه دلتا السطوح. هناك ثمانية أشكال دلتا محدبة: ثلاثة من المواد الصلبة الأفلاطونية وخمسة أمثلة غير موحدة.
المربعات: المكعب هو المثال المحدب الوحيد. يمكن الحصول على أمثلة أخرى (المكعبات المتعددة) عن طريق ضم المكعبات معًا، على الرغم من أنه يجب توخي الحذر إذا كان يجب تجنب الوجوه المستوية.
خماسي الوجوه: الشكل الثنائي الوجوه العادي هو المثال المحدب الوحيد.

متعددات الوجوه ذات الوجوه المنتظمة المتطابقة من ستة جوانب أو أكثر كلها غير محدبة.

وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للمجسمات المتعددة السطوح المحدبة ذات الوجوه المنتظمة المتساوية هو عشرة: المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة وخمسة الأشكال الدلتاهدية غير المنتظمة.[30] هناك عدد لا نهائي من الأمثلة غير المحدبة. توجد أمثلة لا حصر لها تشبه الإسفنج تسمى الأشكال المتعددة السطوح اللانهائية في بعض هذه العائلات.

المواد الصلبة لجونسون

بحث نورمان جونسون عن الأشكال المتعددة السطوح المحدبة وغير المنتظمة التي لها وجوه منتظمة، وإن لم تكن كلها متشابهة بالضرورة. في عام 1966، نشر قائمة تضم 92 مادة صلبة، وأعطاها أسماء وأرقامًا، وتوقع أنه لا يوجد غيرها. أثبت فيكتور زالجالر في عام 1969 أن قائمة مواد جونسون الصلبة كانت كاملة.

الاهرام

تشمل الأهرامات بعضًا من أكثر الأشكال متعددة الوجوه شهرةً وشهرةً، مثل الأهرامات المصرية ذات الجوانب الأربعة.

النجوم والوجهات

نجمية متعدد السطوح هي عملية تمديد الوجوه (داخل طائراتها) بحيث تلتقي لتشكيل متعدد السطوح جديد.

إنها المعاملة بالمثل بالضبط لعملية الوجه، وهي عملية إزالة أجزاء من متعدد السطوح دون إنشاء أي رؤوس جديدة.

توضح الأشكال أدناه بعض النجوم من المجسم الثماني، والعشري الوجوه، والعشريني الوجوه.

زونوهيدرا

إن زونوهيدرن هو متعدد السطوح محدب يكون فيه كل وجه عبارة عن مضلع متماثل تحت دوران 180 درجة. زونوهيدرا يمكن أيضا وصفها بأنها مبالغ مينكوفسكي من شرائح الخط، وتشمل العديد من المجسمات الثلاثية الأبعاد المهم ملء الفضاء.[31]

متعدد الوجوه يملأ الفراغ

حزم متعددة السطوح تملأ الفراغ مع نسخ من نفسها لملء الفراغ. غالبًا ما يُطلق على هذا التعبئة القريبة أو ملء الفراغ اسم التغطية بالفسيفساء للمساحة أو قرص العسل. يجب أن تحتوي المجسمات المتعددة السطوح التي تملأ الفراغ على ثابت دهن يساوي صفرًا. تحتوي بعض أقراص العسل على أكثر من نوع واحد من متعدد السطوح.

بنية متعددات الوجوه

يسمى متعدد السطوح المحدب الذي تحتوي جميع الرؤوس فيه على إحداثيات صحيحة على متعدد السطوح الشبكية أو متعدد السطوح متكامل. إن كثير حدود إيرهارت لمتعدد السطوح الشبكي يحسب عدد النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة التي تقع داخل نسخة معدلة من متعدد السطوح، كدالة لعامل المقياس. تكمن دراسة كثيرات الحدود في تقاطع التوافقية والجبر التبادلي.[32]

متعددات الوجوه المرنة

من الممكن لبعض متعددات الوجوه أن تغير شكلها العام، مع الحفاظ على أشكال وجوهها كما هي، عن طريق تغيير زوايا حوافها. يسمى متعدد السطوح الذي يمكنه القيام بذلك باسم متعدد السطوح المرن. من خلال نظرية صلابة كوشي، يجب أن تكون متعددات الوجوه المرنة غير محدبة. يجب أن يظل حجم متعدد السطوح المرن ثابتًا أثناء ثنيه ؛ تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية الخوار.[33]

مركبات

يتكون المركب متعدد السطوح من اثنين أو أكثر من متعدد السطوح يتشاركان مركزًا مشتركًا. غالبًا ما تشترك المركبات المتناظرة في نفس الرؤوس مثل الأشكال المتعددة السطوح الأخرى المعروفة ويمكن أيضًا أن تتشكل عن طريق التألق. بعضها مدرج في قائمة نماذج متعدد السطوح لوينينجر.

متعددات الوجوه المتعامدة

متعدد السطوح المتعامد هو الذي تلتقي جميع وجوهه بزوايا قائمة، وجميع حوافه موازية لمحاور نظام الإحداثيات الديكارتية. (يقدم جيسن ذو الوجوه العشرينية مثالاً على أن متعدد الوجوه يلتقي بواحد ولكن ليس كلا الشرطين.) بصرف النظر عن الصناديق المستطيلة، فإن الأشكال المتعددة السطوح المتعامدة غير محدبة. إنها النظائر ثلاثية الأبعاد للمضلعات المتعامدة ثنائية الأبعاد، والمعروفة أيضًا باسم المضلعات المستقيمة. تُستخدم متعددات الوجوه المتعامدة في الهندسة الحسابية، حيث أتاح هيكلها المقيد التقدم في المشكلات التي لم يتم حلها بالنسبة لمتعدد الوجوه التعسفي، على سبيل المثال، كشف سطح متعدد السطوح إلى شبكة متعددة الأضلاع.[34]

تعميمات المجسمات المتعددة

أصبح اسم «متعدد السطوح» يستخدم لمجموعة متنوعة من الكائنات التي لها خصائص هيكلية مماثلة لمتعدد السطوح التقليدية.

أبيروجيدرون

يحتوي السطح الكلاسيكي متعدد السطوح على عدد محدود من الوجوه، متصلة في أزواج على طول الحواف. تشكل الوجوه أبيروجيدرون فئة ذات صلة من الكائنات مع عدد لا نهائي من الوجوه. تتضمن أمثلة الأوجه المنحرفة ما يلي:

تبليط أو فسيفساء من الطائرة.
هياكل تشبه الإسفنج تسمى الأشكال المتعددة السطوح اللانهائية.

متعددات الوجوه المعقدة

هناك كائنات تسمى متعددات الوجوه المعقدة، والتي يكون الفضاء الأساسي لها هو مساحة هيلبرت المعقدة بدلاً من الفضاء الإقليدي الحقيقي. توجد تعريفات دقيقة فقط لمتعدد الوجوه المعقد المنتظم، والذي تكون مجموعات تناظره عبارة عن مجموعات انعكاس معقدة. ترتبط المجسمات المتعددة السطوح المعقدة رياضيًا ارتباطًا وثيقًا بالتكوينات أكثر من ارتباطها بالمجسمات المتعددة السطوح الحقيقية.[35]

متعددات الوجوه المنحنية

تسمح بعض مجالات الدراسة بأن يكون للجوانب والحواف منحنية. يمكن أن تسمح الوجوه المنحنية بتواجد الوجوه الرقمية بمساحة موجبة.

متعدد الوجوه الكروية

عندما يتم تقسيم سطح الكرة بواسطة عدد محدود من الأقواس الكبيرة (بالتساوي، عن طريق المستويات التي تمر عبر مركز الكرة)، فإن النتيجة تسمى متعدد السطوح الكروية. يمكن إسقاط العديد من بوليتوبس المحدبة التي لها درجة معينة من التناظر (على سبيل المثال، جميع المواد الصلبة الأفلاطونية) على سطح كرة متحدة المركز لإنتاج متعدد الوجوه الكروية. ومع ذلك، فإن العملية العكسية ليست ممكنة دائمًا ؛ بعض المجسمات الكروية (مثل الهشوهيدرا) ليس لها نظير مسطح الوجه.[36]

مجسمات منحنية لملء الفراغ

إذا سُمح للوجوه بأن تكون مقعرة ومحدبة، يمكن عمل الوجوه المجاورة لتلتقي مع بعضها بدون فجوة. يمكن لبعض هذه المجسمات المنحنية أن تجمع معًا لملء الفراغ. نوعان مهمان هما:

فقاعات في رغوة ورغوة، مثل فقاعات ويير فيلان.[37]
النماذج المستخدمة في العمارة.[38]

متعدد الوجوه المثالي

يمكن تعريف متعددات الوجوه المحدبة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد بنفس الطريقة كما في الفضاء الإقليدي، مثل الهياكل المحدبة لمجموعات محدودة من النقاط. ومع ذلك، في الفضاء الزائدي، من الممكن أيضًا مراعاة النقاط المثالية بالإضافة إلى النقاط التي تقع داخل الفضاء. متعدد السطوح المثالي هو الهيكل المحدب لمجموعة محدودة من النقاط المثالية. وجوهها عبارة عن مضلعات مثالية، لكن حوافها محددة بخطوط زائدية كاملة بدلاً من مقاطع خطية، ولا تقع رؤوسها (النقاط المثالية التي تكون بدنها محدبًا) داخل الفضاء الزائدي.

الهياكل العظمية والمتعددة السطوح كرسومات بيانية

من خلال نسيان بنية الوجه، فإن أي متعدد السطوح يؤدي إلى رسم بياني يسمى الهيكل العظمي، مع الرؤوس والحواف المقابلة. هذه الأرقام لها تاريخ طويل: ليوناردو دا فينشي وضع نماذج إطارات من المواد الصلبة العادية، ويشبه سلك الإطار تظهر المجسمات الثلاثية الأبعاد في إيشر الصورة المطبوعة نجوم .[39] إحدى أبرز ما يميز هذا النهج هي نظرية شتاينتس، التي تعطي توصيفًا نظريًا بحتًا للهياكل العظمية لمتعدد السطوح المحدب: تنص على أن الهيكل العظمي لكل متعدد السطوح المحدب عبارة عن رسم بياني مستوٍ متصل بثلاث نقاط، وكل رسم بياني مستوٍ متصل بثلاثة أشكال هو هيكل عظمي لبعض متعدد السطوح محدب.

تم تطوير فكرة مبكرة عن متعددات الوجوه المجردة في دراسة برانكو جرونباوم لـ «متعددات الوجوه المجوفة». حدد جرونباوم الوجوه لتكون مجموعات من الرؤوس مرتبة بشكل دوري، وسمح لها بأن تكون منحرفة ومستوية.[40]

يسمح منظور الرسم البياني للمرء بتطبيق مصطلحات وخصائص الرسم البياني على متعددات الوجوه. على سبيل المثال، متعدد السطوح ورباعي السطوح هو الوحيد المعروف متعدد السطوح الذي هياكله العظمية عبارة عن رسوم بيانية كاملة (K ₄)، وتؤدي قيود التماثل المختلفة على متعدد السطوح إلى ظهور هياكل عظمية عبارة عن رسوم بيانية متماثلة.

الاستخدامات البديلة

منذ النصف الأخير من القرن العشرين، وُجد أن العديد من التركيبات الرياضية لها خصائص موجودة أيضًا في متعددات الوجوه التقليدية. بدلاً من حصر مصطلح «متعدد الوجوه» لوصف متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد، فقد تم اعتماده لوصف أنواع مختلفة من الهياكل ذات الصلة ولكن المتميزة.

الأبعاد المتعددة السطوح

تم تعريف متعدد السطوح على أنه مجموعة من النقاط في فضاء أفيني حقيقي (أو إقليدي) بأي بعد n له جوانب مسطحة. يمكن بدلاً من ذلك تعريفه على أنه تقاطع العديد من المسافات النصفية. على عكس متعدد السطوح التقليدي، قد يكون مقيدًا أو غير مقيد. في هذا المعنى، فإن عديد الأبعاد هو متعدد السطوح محدد.[18][19]

من الناحية التحليلية، يتم التعبير عن مثل هذا متعدد السطوح المحدب على أنه مجموعة الحلول لنظام من عدم المساواة الخطية. يوفر تعريف متعدد الوجوه بهذه الطريقة منظورًا هندسيًا لمشاكل البرمجة الخطية. العديد من الأشكال التقليدية متعددة السطوح هي متعددات الوجوه بهذا المعنى. تشمل الأمثلة الأخرى:

على سبيل المثال، تتكون منطقة المستوى الديكارتي من جميع النقاط فوق المحور الأفقي وعلى يمين المحور الرأسي: ${ (x, y) : x \geq 0, y \geq 0$ ضلعه هما المحوران الموجبان، وبخلاف ذلك فهو غير مقيد.
ثماني في الفضاء الإقليدي 3، ${ (x, y, z) : x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$
منشور من مدى لانهائي. على سبيل المثال، منشور مربع لانهائي مضاعف في 3 مسافات، ويتألف من مربع في المستوى xy على طول المحور z ${ (x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$
كل خلية في مخطط فورونوي بالفسيفساء هي عبارة عن متعدد الوجوه محدب. في مخطط فورونوي بالفسيفساء لمجموعة S، تكون الخلية A المقابلة للنقطة $c \in S$ محدودة (ومن ثم متعدد السطوح التقليدي) عندما يقع c داخل الهيكل المحدب لـ S، وبخلاف ذلك (عندما يقع c على حدود البدن المحدب لـ S) A غير محدود.

المجسمات الطوبولوجية

البوليتوب الطوبولوجي عبارة عن مساحة طوبولوجية يتم تقديمها جنبًا إلى جنب مع تحلل معين إلى أشكال مكافئة طوبولوجيًا للفئات المتعددة المحدبة والتي ترتبط ببعضها البعض بطريقة منتظمة.

يسمى هذا الشكل البسيط إذا كانت كل منطقة من مناطقه بسيطة، أي في فضاء ذي أبعاد n، تحتوي كل منطقة على رؤوس n + 1. يسمى ثنائي من بوليتوب البسيط بسيط. وبالمثل، فإن فئة من بوليتوبس (متعددات الوجوه) المدروسة على نطاق واسع هي تلك الخاصة بالمجسمات متعددة السطوح، عندما تكون لبنة البناء الأساسية عبارة عن مكعب ذو أبعاد n.

مجردة متعدد الوجوه

مجردة بوليتوب هي مجموعة مرتبة جزئيًا (موجب) من العناصر التي يخضع ترتيبها الجزئي لقواعد معينة للوقوع (التوصيل) والترتيب. تتوافق عناصر المجموعة مع الرؤوس والحواف والوجوه وما إلى ذلك من مجردة بوليتوب: الرءوس لها رتبة 0، والحواف مرتبة 1، وما إلى ذلك مع ترتيب مرتب جزئيًا يتوافق مع أبعاد العناصر الهندسية. المجموعة الفارغة، التي تتطلبها نظرية المجموعة، لها رتبة −1 ويقال أحيانًا إنها تتوافق مع مجردة بوليتوب الفارغة. متعدد الوجوه المجرد هو مجردة متعدد السطوح له الترتيب التالي:

المرتبة الثالثة: العنصر الأقصى، وأحيانًا يتم تحديده مع الجسم.
المرتبة الثانية: الوجوه المضلعة.
المرتبة الأولى: الحواف.
المرتبة الصفرية: القمم.
رتبة سالب واحد: المجموعة الفارغة، يتم تحديدها أحيانًا باستخدام بوليتوب أو نيليتوب.[41]

ثم يقال إن أي متعدد الوجوه الهندسي هو «إدراك» في الفضاء الحقيقي للوضع المجرد كما هو موصوف أعلاه.

تاريخ

عصور ما قبل التاريخ ظهرت متعددات الوجوه في أشكال معمارية مبكرة مثل المكعبات والمكعبات، كما يرجع تاريخ أقدم الأهرامات الرباعية الجوانب في مصر القديمة أيضًا إلى العصر الحجري.و الاتروريون سبقت اليونان في وعيهم على الأقل بعض المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية، كما يتضح من اكتشاف وجود الأترورية الثنعشري مصنوعة من الحجر الأملس على مونتي لوفا. تم تمييز وجوهها بتصميمات مختلفة، مما يوحي لبعض العلماء أنه ربما تم استخدامه كنموذج للألعاب.[42]

الحضارة اليونانية

تأتي أقدم السجلات المكتوبة المعروفة لهذه الأشكال من المؤلفين اليونانيين الكلاسيكيين، الذين قدموا أيضًا أول وصف رياضي معروف لها. كان الإغريق الأوائل مهتمين في المقام الأول بالمجسمات المنتظمة المحدبة، والتي أصبحت تُعرف باسم المواد الصلبة الأفلاطونية. عرف فيثاغورس ثلاثة منهم على الأقل، وعرف ثياتيتوس (حوالي 417 ب. ج) وصف كل خمسة. في النهاية، وصف إقليدس بنائها في عناصره . في وقت لاحق، وسع أرخميدس دراسته لتشمل متعدد السطوح المنتظم المحدب الذي يحمل اسمه الآن. ضاع عمله الأصلي وأتت مواده الصلبة إلينا من خلال بابوس

الصين

يعود تاريخ لعبة النرد المكعبة في الصين إلى 600 قبل الميلاد

بحلول عام 236 بعد الميلاد، كان ليو هوي يصف تشريح المكعب إلى رباعي السطوح المميز (تقويم العظام) والمواد الصلبة ذات الصلة، باستخدام تجمعات هذه المواد الصلبة كأساس لحساب أحجام الأرض التي سيتم نقلها أثناء عمليات التنقيب الهندسية.

الحضارة الإسلامية

بعد نهاية العصر الكلاسيكي، واصل علماء الحضارة الإسلامية دفع المعرفة اليونانية إلى الأمام (انظر الرياضيات في إسلام العصور الوسطى).

قدم الباحث في القرن التاسع عشر ثابت بن قرة صيغًا لحساب أحجام متعددات الوجوه مثل الأهرامات المقطوعة.

ثم في القرن العاشر، وصف أبو الوفا الأشكال المتعددة السطوح الكروية المنتظمة وشبه الدائرية.

عصر النهضة

كما هو الحال مع مجالات الفكر اليوناني الأخرى التي تم الحفاظ عليها وتعزيزها من قبل العلماء المسلمين، انتعش الاهتمام الغربي بالمجسمات المتعددة السطوح خلال عصر النهضة الإيطالية. قام الفنانون ببناء الهياكل المتعددة السطوح، وتصويرها من الحياة كجزء من تحقيقاتهم في المنظور. يظهر العديد في ألواح التطعيم في تلك الفترة. قدم بييرو ديلا فرانشيسكا أول وصف مكتوب للبناء الهندسي المباشر لوجهات نظر منظور متعدد السطوح. صنع ليوناردو دافنشي نماذج هيكلية للعديد من متعددات الوجوه ورسم توضيحات لها لكتاب باتشيولي. تصور لوحة لفنان مجهول لـ باسيولي وتلميذ زجاجًا معينيًا نصفه مملوء بالماء.

مع انتشار عصر النهضة إلى ما بعد إيطاليا، صور فنانون لاحقون مثل وينزل جامنيتسر ودورر وغيرهم أيضًا الأشكال المتعددة السطوح، وكثير منها رواية، في نقوش خيالية.

نجمة متعددات الوجوه

لما يقرب من 2000 عام، ظل مفهوم متعدد السطوح باعتباره صلبًا محدبًا كما طوره علماء الرياضيات اليونانيون القدماء.

خلال عصر النهضة، تم اكتشاف أشكال نجمية. رسم ترسيا رخامي في أرضية كاتدرائية القديس مرقس، البندقية، يصور اثني عشر وجهًا منمقًا. كان فنانون مثل وينزل جامنيتسر سعداء بتصوير أشكال جديدة شبيهة بالنجوم تزداد تعقيدًا.

استخدم يوهانس كيبلر (1571–1630) المضلعات النجمية، الخماسية عادةً، لبناء نجمة متعددة السطوح. ربما تم اكتشاف بعض هذه الأشكال قبل زمن كبلر، لكنه كان أول من أدرك أنه يمكن اعتبارها «عادية» إذا أزال أحد القيود التي تنص على أن متعدد الوجوه المنتظم يجب أن يكون محدبًا. لاحقًا، أدرك لويس بوانسوت أنه يمكن أيضًا استخدام أشكال قمة النجم (دوائر حول كل زاوية)، واكتشف الباقيين متعددي الوجوه النجمية المنتظمة. أثبت كوشي أن قائمة بوينسو كاملة، وأعطاهم كايلي أسماءهم الإنجليزية المقبولة: (كبلر) الصغير ذو الاثنا عشر الوجوه النجمية والثنائي الوجوه الكبير، و (بوينسو) العشر الوجوه الكبير والعشري الوجوه العظيم. بشكل جماعي يطلق عليهم متعدد السطوح كبلر – بوينسو.

يمكن بناء متعدد السطوح كبلر – بوينسو من المواد الصلبة الأفلاطونية من خلال عملية تسمى النجومية. معظم النجوم ليست منتظمة. حظيت دراسة النجوم من المواد الصلبة الأفلاطونية بدفعة كبيرة من قبل سكوت ماكدونالد كوكستر وآخرون في عام 1938، مع الورقة الشهيرة الآن 59 عشرونية الوجوه .[43]

وتسمى هذه العملية متبادلة لتمديد مضلع الوجوه (أو النحت). كل تأليف من بوليتوب هو مزدوج، أو متبادل، إلى بعض الوجوه من بوليتوب المزدوج. يمكن أيضًا الحصول على متعددات الوجوه النجمية العادية عن طريق مواجهة المواد الصلبة الأفلاطونية. جسر (1974) أوجه أبسط للثني عشر الوجوه، وردها بالمثل لاكتشاف نجمية للعشروني الوجوه التي كانت مفقودة من مجموعة "59".[44] تم اكتشاف المزيد منذ ذلك الحين، ولم تنته القصة بعد.

صيغة وطوبولوجيا أويلر

تطوران رياضيان حديثان آخران كان لهما تأثير عميق على نظرية متعدد السطوح.

في عام 1750 نظر ليونارد أويلر لأول مرة في حواف متعدد السطوح، مما سمح له باكتشاف صيغته متعددة السطوح المتعلقة بعدد الرؤوس والحواف والوجوه. يشير هذا إلى ولادة الطوبولوجيا، التي يشار إليها أحيانًا باسم «هندسة الألواح المطاطية»، وقد طور هنري بوانكاريه أفكاره الأساسية في نهاية القرن التاسع عشر. سمح هذا بالعديد من المشكلات طويلة الأمد حول ما كان أو لم يكن متعدد السطوح ليتم حلها.

لخص ماكس بروكنر العمل على متعددات الوجوه حتى الآن، بما في ذلك العديد من النتائج التي توصل إليها، في كتابه «المضلعات والمضلعات: النظرية والتاريخ» (المضلعات ومتعدد الوجوه: النظرية والتاريخ). نُشرت باللغة الألمانية عام 1900، وظلت معروفة قليلاً.

وفي الوقت نفسه، أدى اكتشاف أبعاد أعلى إلى فكرة متعدد السطوح كمثال ثلاثي الأبعاد على متعدد الأطوار أكثر عمومية.

إحياء القرن العشرين

بحلول السنوات الأولى من القرن العشرين، كان علماء الرياضيات قد تقدموا ولم تدرس الهندسة كثيرًا. قدم تحليل كوكستر في الإيكوساهدرا التسعة والخمسون أفكارًا حديثة من نظرية الرسم البياني والتوليفات في دراسة متعددات الوجوه، مما يشير إلى ولادة جديدة للاهتمام بالهندسة.

استمر كوكستر نفسه في تعداد متعدد السطوح النجمية الموحدة لأول مرة، ولمعاملة أسقف المستوي على أنها متعددات الوجوه، واكتشاف الانحراف متعدد السطوح المنتظم، ولتطوير نظرية متعددات الوجوه المعقدة التي اكتشفها شيفارد لأول مرة في عام 1952، بالإضافة إلى جعلها أساسية. مساهمات في العديد من مجالات الهندسة الأخرى.

في الجزء الثاني من القرن العشرين، نشر جرونباوم أعمالًا مهمة في مجالين. كان أحدهما في بوليتوبس محدبة، حيث لاحظ وجود ميل بين علماء الرياضيات لتعريف «متعدد الوجوه» بطرق مختلفة وأحيانًا غير متوافقة لتناسب احتياجات اللحظة. كان الآخر عبارة عن سلسلة من الأوراق التي وسعت التعريف المقبول لمتعدد الوجوه، على سبيل المثال اكتشاف العديد من الأشكال المتعددة السطوح العادية الجديدة. في نهاية القرن العشرين، اندمجت هذه الأفكار الأخيرة مع أعمال أخرى حول مجمعات الوقوع لإنشاء الفكرة الحديثة لمتعدد الوجوه المجرد (باعتباره مجردة 3 متعدد السطوح)، قدمها بشكل خاص مكمولين وشولت.

في الطبيعة

من أجل ايجاد الأمثلة حيث يظهر مرعدد أوجم منتظم في الطبيعة، انظر إلى متعدد سطوح منتظم في الطبيعة. تظهر متعددات الأوجم غير المنتظمة في الطبيعة على شكل بلورات.

انظر أيضًا

ملحوظات

"معلومات عن متعدد سطوح على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it"، thes.bncf.firenze.sbn.it، مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.
"معلومات عن متعدد سطوح على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 16 أبريل 2019.
"معلومات عن متعدد سطوح على موقع id.loc.gov"، id.loc.gov، مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.
Lakatos, Imre (2015) [1976]، Worrall, John؛ Zahar, Elie (المحررون)، Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery، Cambridge Philosophy Classics، Cambridge: Cambridge University Press، ص. 16، doi:10.1017/CBO9781316286425، ISBN 978-1-107-53405-6، MR 3469698، definitions are frequently proposed and argued about.
Grünbaum (1994), p. 43.
Loeb, Arthur L. (2013)، "Polyhedra: Surfaces or solids?"، في Senechal (المحرر)، Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination (ط. 2nd)، Springer، ص. 65–75، doi:10.1007/978-0-387-92714-5_5
McCormack, Joseph P. (1931)، Solid Geometry، D. Appleton-Century Company، ص. 416.
de Berg, M.؛ van Kreveld, M.؛ Overmars, M.؛ Schwarzkopf, O. (2000)، Computational Geometry: Algorithms and Applications (ط. 2nd)، Springer، ص. 64.
Hazewinkel, Michiel, المحرر (2001)، "عديد السطوح"، Encyclopedia of Mathematics، سبرنجر، ISBN 978-1-55608-010-4
Stewart, B. M. (1980)، Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces (ط. 2nd)، ص. 6.
Cromwell (1997), pp. 206–209.
O'Rourke, Joseph (1993)، "Computational Geometry in C"، Computers in Physics، ج. 9، ص. 113–116، Bibcode:1995ComPh...9...55O، doi:10.1063/1.4823371.
Grünbaum, Branko (1999)، "Acoptic polyhedra"، Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996) (PDF)، Contemporary Mathematics، Providence, Rhode Island: American Mathematical Society، ج. 223، ص. 163–199، doi:10.1090/conm/223/03137، ISBN 978-0-8218-0674-6، MR 1661382، مؤرشف من الأصل (PDF) في 31 مارس 2021، اطلع عليه بتاريخ 27 ديسمبر 2021.
Cromwell (1997), p. 209.
Bokowski, J.؛ Guedes de Oliveira, A. (2000)، "On the generation of oriented matroids"، Discrete and Computational Geometry، ج. 24، ص. 197–208، doi:10.1007/s004540010027، MR 1756651.
Burgiel, H.؛ Stanton, D. (2000)، "Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}"، Discrete and Computational Geometry، 24 (2–3): 241–255، doi:10.1007/s004540010030، MR 1758047.
Grünbaum (2003), pp. 468–469.
Grünbaum, Branko (2003)، Convex Polytopes، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، New York: Springer-Verlag، ج. 221، ص. 26، doi:10.1007/978-1-4613-0019-9، ISBN 978-0-387-00424-2، MR 1976856.
Bruns, Winfried؛ Gubeladze, Joseph (2009)، "Definition 1.1"، Polytopes, Rings, and K-theory، Springer Monographs in Mathematics، Dordrecht: Springer، ص. 5، doi:10.1007/b105283، ISBN 978-0-387-76355-2، MR 2508056.
Richeson (2008), p. 157.
Richeson (2008), p. 180.
Cundy, H. Martyn؛ Rollett, A.P. (1961)، "3.2 Duality"، Mathematical models (ط. 2nd)، Oxford: Clarendon Press، ص. 78–79، MR 0124167.
Grünbaum, B.؛ Shephard, G.C. (1969)، "Convex polytopes" (PDF)، جمعية الرياضيات في لندن، ج. 1، ص. 257–300، doi:10.1112/blms/1.3.257، MR 0250188، مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 فبراير 2017، اطلع عليه بتاريخ 21 فبراير 2017. See in particular the bottom of page 260.
Goldman, Ronald N. (1991)، "Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra"، في Arvo (المحرر)، Graphic Gems Package: Graphics Gems II، Academic Press، ص. 170–171
Büeler, B.؛ Enge, A.؛ Fukuda, K. (2000)، "Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study"، Polytopes — Combinatorics and Computation، ص. 131، doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6، ISBN 978-3-7643-6351-2
Sydler, J.-P. (1965)، "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions"، Comment. Math. Helv. (باللغة الفرنسية)، ج. 40، ص. 43–80، doi:10.1007/bf02564364، MR 0192407، مؤرشف من الأصل في 7 مايو 2021
Hazewinkel, M. (2001)، "Dehn invariant"، في Hazewinkel, Michiel (المحرر)، Encyclopedia of Mathematics، سبرنجر، ISBN 978-1-55608-010-4
Debrunner, Hans E. (1980)، "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln"، Archiv der Mathematik (باللغة الألمانية)، ج. 35، ص. 583–587، doi:10.1007/BF01235384، MR 0604258.
Alexandrov, Victor (2010)، "The Dehn invariants of the Bricard octahedra"، Journal of Geometry، ج. 99، ص. 1–13، arXiv:0901.2989، doi:10.1007/s00022-011-0061-7، MR 2823098.
Cromwell (1997), p. 86. نسخة محفوظة 2021-04-27 على موقع واي باك مشين.
Taylor, Jean E. (1992)، "Zonohedra and generalized zonohedra"، الرياضيات الأمريكية الشهرية، ج. 99، ص. 108–111، doi:10.2307/2324178، JSTOR 2324178، MR 1144350.
Stanley, Richard P. (1997)، Enumerative Combinatorics, Volume I (ط. 1)، Cambridge University Press، ص. 235–239، ISBN 978-0-521-66351-9
Demaine, Erik D.؛ O'Rourke, Joseph (2007)، "23.2 Flexible polyhedra"، Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra، Cambridge University Press, Cambridge، ص. 345–348، doi:10.1017/CBO9780511735172، ISBN 978-0-521-85757-4، MR 2354878.
O'Rourke, Joseph (2008)، "Unfolding orthogonal polyhedra"، Surveys on discrete and computational geometry، Contemp. Math.، Amer. Math. Soc., Providence, RI، ج. 453، ص. 307–317، doi:10.1090/conm/453/08805، ISBN 978-0-8218-4239-3، MR 2405687.
Coxeter, H.S.M. (1974)، Regular Complex Polytopes، Cambridge: Cambridge University Press، MR 0370328. ^{[بحاجة لرقم الصفحة]}
Popko, Edward S. (2012)، Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere، CRC Press، ص. 463، ISBN 978-1-4665-0430-1، A hosohedron is only possible on a sphere.
Kraynik, A.M.؛ Reinelt, D.A. (2007)، "Foams, Microrheology of"، في Mortensen (المحرر)، Concise Encyclopedia of Composite Materials (ط. 2nd)، Elsevier، ص. 402–407. See in particular p. 403: "foams consist of polyhedral gas bubbles ... each face on a polyhedron is a minimal surface with uniform mean curvature ... no face can be a flat polygon with straight edges".
Pearce, P. (1978)، "14 Saddle polyhedra and continuous surfaces as environmental structures"، Structure in nature is a strategy for design، MIT Press، ص. 224، ISBN 978-0-262-66045-7.
Coxeter, H.S.M. (1985)، "A special book review: M.C. Escher: His life and complete graphic work"، The Mathematical Intelligencer، ج. 7، ص. 59–69، doi:10.1007/BF03023010 Coxeter's analysis of Stars is on pp. 61–62.
Grünbaum (1994).
N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) (ردمك 978-1-107-10340-5) Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.224
Sparavigna, Amelia Carolina (2012)، An Etruscan dodecahedron، arXiv:1205.0706
Coxeter, H.S.M.؛ Du Val, P.؛ Flather, H.T.؛ Petrie, J.F. (1999) [1938]، The Fifty-Nine Icosahedra، Tarquin Publications، ISBN 978-1-899618-32-3، MR 0676126.
Bridge, N.J. (1974)، "Faceting the dodecahedron"، Acta Crystallographica Section A، ج. 30، ص. 548–552، Bibcode:1974AcCrA..30..548B، doi:10.1107/s0567739474001306.

مصادر

Cromwell, Peter R. (1997)، Polyhedra، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-55432-9، MR 1458063.
Grünbaum, Branko (1994)، "Polyhedra with hollow faces"، في Bisztriczky, Tibor؛ Schneider, Peter McMullen;Rolf؛ Weiss, A. (المحررون)، Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational، Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.، ص. 43–70، doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3، ISBN 978-94-010-4398-4، MR 1322057.
Grünbaum, Branko (2003)، "Are your polyhedra the same as my polyhedra?" (PDF)، في Aronov, Boris؛ Basu, Saugata؛ Pach, János؛ Sharir, Micha (المحررون)، Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift، Algorithms and Combinatorics، Berlin: Springer، ج. 25، ص. 461–488، CiteSeerX 10.1.1.102.755، doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21، ISBN 978-3-642-62442-1، MR 2038487.
Richeson, David S. (2008)، Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology، Princeton, NJ: Princeton University Press، ISBN 978-0-691-12677-7، MR 2440945.

مراجع

فهرس

كتاب الرياضيات الدراسي الصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432، المملكة العربية السعودية.

روابط خارجية

النظرية العامة

وايسشتاين، إريك دبليو، «متعدد الوجوه»، ماثوورلد.
صفحات المجسمات المتعددة السطوح.
حل موحد لمتعدد السطوح الموحدة للدكتور تسفي هاريل.
التماثل والبلورات ومتعدد السطوح.

قوائم وقواعد بيانات المجسمات المتعددة الوجوه

الواقع الافتراضي متعدد السطوح - موسوعة المجسمات المتعددة السطوح.
نماذج الهندسة الإلكترونية - تحتوي على مجموعة مختارة من متعدد السطوح تمت مراجعتها من قِبل النظراء بخصائص غير عادية.
نماذج المجسمات المتعددة السطوح - المجسمات المتعددة السطوح الافتراضية.
النماذج الورقية للزي الموحد (وغيره) متعدد السطوح
عارض متعدد السطوح - أداة قائمة على الويب لتصور العلاقات بين متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة.

البرمجيات الحرة

عدد كبير من المجسمات المتعددة السطوح - مجموعة تفاعلية ومجانية من متعددات الوجوه في جافا. تشتمل الميزات على شبكات، وأقسام مستوية، وثنائيات، ومقتطعات ونجوم لأكثر من 300 متعدد الوجوه.
قطاعة هيبر سبيس ستار بوليتوب - مستكشف جافا الصغير، يتضمن مجموعة متنوعة من خيارات العارض ثلاثي الأبعاد.
أوبن سكاد - برنامج مجاني عبر الأنظمة الأساسية للمبرمجين. المجسمات المتعددة الوجوه هي مجرد واحدة من الأشياء التي يمكنك نمذجتها. دليل مستخدم أوبن سكاد متاح أيضًا.
أوبين فوليوميش - مكتبة C ++ مفتوحة المصدر ومتعددة المنصات للتعامل مع الشبكات متعددة السطوح. تم تطويره بواسطة مجموعة رسومات الحاسوب بجامعة آخن.
تعدد الوجوه - أداة قائمة على الويب لتوليد نماذج متعددة السطوح باستخدام تدوين كونواي متعدد السطوح. يمكن تصدير النماذج كصور PNG ثنائية الأبعاد، أو كملفات (OBJ) أو (VRML2) ثلاثية الأبعاد. يمكن فتح الملفات ثلاثية الأبعاد في برنامج (CAD)، أو تحميلها للطباعة ثلاثية الأبعاد في خدمات مثل الأشكال .

موارد لصنع النماذج المادية

نماذج ورقية لشبكات متعددة السطوح خالية من المجسمات.
تعليمات بسيطة لبناء أكثر من 30 متعدد الوجوه الورقية.
متعدد السطوح مضفر بشرائط ورقية - نماذج متعددة السطوح مبنية بدون استخدام الغراء.
اعتماد متعدد السطوح - شاشة تفاعلية وشبكات وبيانات طابعة ثلاثية الأبعاد لجميع الأنواع الاندماجية من متعدد السطوح مع ما يصل إلى تسعة رؤوس.

بوابة رياضيات
بوابة هندسة رياضية

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] "معلومات عن متعدد سطوح على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it"، thes.bncf.firenze.sbn.it، مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.

[2] "معلومات عن متعدد سطوح على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 16 أبريل 2019.

[3] "معلومات عن متعدد سطوح على موقع id.loc.gov"، id.loc.gov، مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.

[lakatos-4] Lakatos, Imre (2015) [1976]، Worrall, John؛ Zahar, Elie (المحررون)، Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery، Cambridge Philosophy Classics، Cambridge: Cambridge University Press، ص. 16، doi:10.1017/CBO9781316286425، ISBN 978-1-107-53405-6، MR 3469698، definitions are frequently proposed and argued about.

[5] Grünbaum (1994), p. 43.

[6] Loeb, Arthur L. (2013)، "Polyhedra: Surfaces or solids?"، في Senechal (المحرر)، Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination (ط. 2nd)، Springer، ص. 65–75، doi:10.1007/978-0-387-92714-5_5

[7] McCormack, Joseph P. (1931)، Solid Geometry، D. Appleton-Century Company، ص. 416.

[8] Berg, M.؛ van Kreveld, M.؛ Overmars, M.؛ Schwarzkopf, O. (2000)، Computational Geometry: Algorithms and Applications (ط. 2nd)، Springer، ص. 64.

[9] Hazewinkel, Michiel, المحرر (2001)، "عديد السطوح"، Encyclopedia of Mathematics، سبرنجر، ISBN 978-1-55608-010-4

[10] Stewart, B. M. (1980)، Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces (ط. 2nd)، ص. 6.

[cromwell-11] Cromwell (1997), pp. 206–209.

[12] O'Rourke, Joseph (1993)، "Computational Geometry in C"، Computers in Physics، ج. 9، ص. 113–116، Bibcode:1995ComPh...9...55O، doi:10.1063/1.4823371.

[13] Grünbaum, Branko (1999)، "Acoptic polyhedra"، Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996) (PDF)، Contemporary Mathematics، Providence, Rhode Island: American Mathematical Society، ج. 223، ص. 163–199، doi:10.1090/conm/223/03137، ISBN 978-0-8218-0674-6، MR 1661382، مؤرشف من الأصل (PDF) في 31 مارس 2021، اطلع عليه بتاريخ 27 ديسمبر 2021.

[14] Cromwell (1997), p. 209.

[15] Bokowski, J.؛ Guedes de Oliveira, A. (2000)، "On the generation of oriented matroids"، Discrete and Computational Geometry، ج. 24، ص. 197–208، doi:10.1007/s004540010027، MR 1756651.

[bursta-16] Burgiel, H.؛ Stanton, D. (2000)، "Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}"، Discrete and Computational Geometry، 24 (2–3): 241–255، doi:10.1007/s004540010030، MR 1758047.

[17] Grünbaum (2003), pp. 468–469.

[polytope-bounded-1-18] Grünbaum, Branko (2003)، Convex Polytopes، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، New York: Springer-Verlag، ج. 221، ص. 26، doi:10.1007/978-1-4613-0019-9، ISBN 978-0-387-00424-2، MR 1976856.

[polytope-bounded-2-19] Bruns, Winfried؛ Gubeladze, Joseph (2009)، "Definition 1.1"، Polytopes, Rings, and K-theory، Springer Monographs in Mathematics، Dordrecht: Springer، ص. 5، doi:10.1007/b105283، ISBN 978-0-387-76355-2، MR 2508056.

[20] Richeson (2008), p. 157.

[21] Richeson (2008), p. 180.

[22] Cundy, H. Martyn؛ Rollett, A.P. (1961)، "3.2 Duality"، Mathematical models (ط. 2nd)، Oxford: Clarendon Press، ص. 78–79، MR 0124167.

[23] Grünbaum, B.؛ Shephard, G.C. (1969)، "Convex polytopes" (PDF)، جمعية الرياضيات في لندن، ج. 1، ص. 257–300، doi:10.1112/blms/1.3.257، MR 0250188، مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 فبراير 2017، اطلع عليه بتاريخ 21 فبراير 2017. See in particular the bottom of page 260.

[24] Goldman, Ronald N. (1991)، "Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra"، في Arvo (المحرر)، Graphic Gems Package: Graphics Gems II، Academic Press، ص. 170–171

[25] Büeler, B.؛ Enge, A.؛ Fukuda, K. (2000)، "Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study"، Polytopes — Combinatorics and Computation، ص. 131، doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6، ISBN 978-3-7643-6351-2

[26] Sydler, J.-P. (1965)، "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions"، Comment. Math. Helv. (باللغة الفرنسية)، ج. 40، ص. 43–80، doi:10.1007/bf02564364، MR 0192407، مؤرشف من الأصل في 7 مايو 2021

[27] Hazewinkel, M. (2001)، "Dehn invariant"، في Hazewinkel, Michiel (المحرر)، Encyclopedia of Mathematics، سبرنجر، ISBN 978-1-55608-010-4

[28] Debrunner, Hans E. (1980)، "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln"، Archiv der Mathematik (باللغة الألمانية)، ج. 35، ص. 583–587، doi:10.1007/BF01235384، MR 0604258.

[29] Alexandrov, Victor (2010)، "The Dehn invariants of the Bricard octahedra"، Journal of Geometry، ج. 99، ص. 1–13، arXiv:0901.2989، doi:10.1007/s00022-011-0061-7، MR 2823098.

[30] Cromwell (1997), p. 86. نسخة محفوظة 2021-04-27 على موقع واي باك مشين.

[31] Taylor, Jean E. (1992)، "Zonohedra and generalized zonohedra"، الرياضيات الأمريكية الشهرية، ج. 99، ص. 108–111، doi:10.2307/2324178، JSTOR 2324178، MR 1144350.

[32] Stanley, Richard P. (1997)، Enumerative Combinatorics, Volume I (ط. 1)، Cambridge University Press، ص. 235–239، ISBN 978-0-521-66351-9

[33] Demaine, Erik D.؛ O'Rourke, Joseph (2007)، "23.2 Flexible polyhedra"، Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra، Cambridge University Press, Cambridge، ص. 345–348، doi:10.1017/CBO9780511735172، ISBN 978-0-521-85757-4، MR 2354878.

[34] O'Rourke, Joseph (2008)، "Unfolding orthogonal polyhedra"، Surveys on discrete and computational geometry، Contemp. Math.، Amer. Math. Soc., Providence, RI، ج. 453، ص. 307–317، doi:10.1090/conm/453/08805، ISBN 978-0-8218-4239-3، MR 2405687.

[35] Coxeter, H.S.M. (1974)، Regular Complex Polytopes، Cambridge: Cambridge University Press، MR 0370328. ^{[بحاجة لرقم الصفحة]}

[36] Popko, Edward S. (2012)، Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere، CRC Press، ص. 463، ISBN 978-1-4665-0430-1، A hosohedron is only possible on a sphere.

[37] Kraynik, A.M.؛ Reinelt, D.A. (2007)، "Foams, Microrheology of"، في Mortensen (المحرر)، Concise Encyclopedia of Composite Materials (ط. 2nd)، Elsevier، ص. 402–407. See in particular p. 403: "foams consist of polyhedral gas bubbles ... each face on a polyhedron is a minimal surface with uniform mean curvature ... no face can be a flat polygon with straight edges".

[38] Pearce, P. (1978)، "14 Saddle polyhedra and continuous surfaces as environmental structures"، Structure in nature is a strategy for design، MIT Press، ص. 224، ISBN 978-0-262-66045-7.

[39] Coxeter, H.S.M. (1985)، "A special book review: M.C. Escher: His life and complete graphic work"، The Mathematical Intelligencer، ج. 7، ص. 59–69، doi:10.1007/BF03023010 Coxeter's analysis of Stars is on pp. 61–62.

[40] Grünbaum (1994).

[41] N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) (ردمك 978-1-107-10340-5) Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.224

[42] Sparavigna, Amelia Carolina (2012)، An Etruscan dodecahedron، arXiv:1205.0706

[43] Coxeter, H.S.M.؛ Du Val, P.؛ Flather, H.T.؛ Petrie, J.F. (1999) [1938]، The Fifty-Nine Icosahedra، Tarquin Publications، ISBN 978-1-899618-32-3، MR 0676126.

[44] Bridge, N.J. (1974)، "Faceting the dodecahedron"، Acta Crystallographica Section A، ج. 30، ص. 548–552، Bibcode:1974AcCrA..30..548B، doi:10.1107/s0567739474001306.