Ecuación

Ilustración de una ecuación simple; x , y , z son números reales, análogos a los pesos.

Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de una balanza. En cada lado se pueden colocar cantidades diferentes: si los pesos de los dos lados son iguales, la balanza se equilibra, y por analogía, la igualdad que representa la balanza también se equilibra (si no, la falta de equilibrio corresponde a una desigualdad representada por una inecuación).

En la ilustración, x, y y z son cantidades diferentes (en este caso números reales) representadas como pesos circulares, y cada una de x, y y z tiene un peso diferente. La suma corresponde a añadir peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso del que ya hay. Cuando la igualdad se mantiene, el peso total de cada lado es el mismo.

Las ecuaciones a menudo contienen términos distintos de las incógnitas. Estos otros términos, que se suponen conocidos, suelen llamarse constantes, coeficientes o parámetros.

Un ejemplo de una ecuación que implica x e y como incógnitas y el parámetro R es

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Cuando se elige que R tenga el valor de 2 (R = 2), esta ecuación se reconocería en coordenadas cartesianas como la ecuación del círculo de radio 2 alrededor del origen. Por lo tanto, la ecuación con R sin especificar es la ecuación general del círculo.

Normalmente, las incógnitas se denotan con letras del final del alfabeto, x, y, z, w, ...,[2] mientras que los coeficientes (parámetros) se denotan con letras del principio, a, b, c, d, ... . Por ejemplo, la ecuación cuadrática general se suele escribir ax² + bx + c = 0.

El proceso de encontrar las soluciones o, en el caso de los parámetros, de expresar las incógnitas en términos de los parámetros, se llama resolución de la ecuación. Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se llaman soluciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas, normalmente en varias incógnitas, para las que se buscan las soluciones comunes. Así, una solución del sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas que juntos forman una solución para cada ecuación del sistema. Por ejemplo, el sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

tiene como única solución x = -1, y = 1.

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar leyes de forma precisa; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s^2, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s^2 = 1 newton, que es el único valor para la fuerza permitida por esta ley.

Ejemplos:

• ecuación de estado
• ecuación de movimiento
• ecuación constitutiva

El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Según autores como Ian Stewart, "el poder de las ecuaciones (...) recae en la correspondencia filosóficamente difícil entre las matemáticas —una creación colectiva de mentes humanas— y una realidad física externa."[5]

Una identidad es una expresión matemática que es verdadera para todos los valores posibles de la(s) variable(s) que contiene. Se conocen muchas identidades en álgebra y cálculo. En el proceso de resolver una ecuación, una identidad se utiliza a menudo para simplificar una ecuación, haciéndola más fácil de resolver.

En álgebra, un ejemplo de identidad es la diferencia de dos cuadrados:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

que es verdadera para todas las x e y.

La Trigonometría es un área donde existen muchas identidades; éstas son útiles para manipular o resolver ecuaciones trigonométricas. Dos de las muchas que involucran las funciones seno y coseno son:

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

y

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

que son ambas verdaderas para todos los valores de θ.

Por ejemplo, para resolver el valor de θ que satisface la ecuación:

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

donde θ se limita a entre 0 y 45 grados, se puede utilizar la identidad anterior para el producto para dar:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

dando la siguiente solución para 'θ:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

Como la función seno es una función periódica, hay infinitas soluciones si no hay restricciones en θ. En este ejemplo, restringir θ para que esté entre 0 y 45 grados restringiría la solución a un solo número.

Ya en el siglo XVI a. C., los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que equivalían a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado «método de la falsa posición».

Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro Los nueve capítulos sobre el arte matemático, en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.[6]

En la Edad Moderna, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista.

Hacia mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, el uso de los números imaginarios era indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.

En el mismo siglo, el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z.

En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que solo han sido resueltos actualmente, algunos recientemente; entre ellos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.

En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz publicaron los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue Sobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado, de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIII, matemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace publicaron resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; solo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular, mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.

Durante el siglo XIX, las ciencias físicas utilizaron, en su formulación, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, la física matemática.

Ya en el siglo XX, la física matemática siguió ampliando su campo de acción; Erwin Schrödinger, Wolfgang Ernst Pauli y Paul Dirac formularon ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Albert Einstein utilizó ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica.

Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos.

Se llama ecuación algebraica con una incógnita la ecuación que se reduce a lo que sigue:

${\displaystyle \alpha _{0}x^{n}+\alpha _{1}x^{n-1}+\alpha _{2}x^{n-2}+\cdots +\alpha _{n-1}x+\alpha _{n}=0}$

donde n es un número entero positivo; α₀, α₁, α₂, ..., α_{n – 1}, α_n se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y se busca su valor. El número n positivo se llama grado de la ecuación[9] Para definir un número algebraico, se consideran números racionales como coeficientes.

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suelen estudiarse las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

${\displaystyle x^{3}y+2xy+4x-y-5=0}$

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

${\displaystyle 2x^{3}-5x^{2}+4x+9=0}$

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede obtenerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

${\displaystyle ax+b=0}$

donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}}}$. Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1) y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto solo por constantes o números).

Cuando esta ecuación se plantea sobre ℂ, siempre se tienen dos soluciones, calculándose con el método de Euler:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales ℝ se requiere que b² ≥ 4ac y para que tenga soluciones sobre los números racionales ℚ se requiere b² – 4ac sea el cuadrado de algún número entero.

Las soluciones -1 y 2 de la ecuación polinómica x² - x + 2 = 0 son los puntos donde la gráfica de la función cuadrática y = x² - x + 2 corta el eje de las x.

En general, una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación de la forma:

${\displaystyle P=0}$, o

${\displaystyle P=Q}$ [10]

donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo (por ejemplo, números racionales, números reales, números complejos). Una ecuación algebraica es univariante si implica una sola variable. Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables, en cuyo caso se llama multivariante (variables múltiples, x, y, z, etc.). El término ecuación polinómica suele preferirse a ecuación algebraica.

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

es una ecuación algebraica univariante (polinómica) con coeficientes enteros y

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

es una ecuación polinómica multivariante sobre los números racionales.

Algunas (pero no todas) ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica, con un número finito de operaciones que implican sólo esos coeficientes (es decir, puede ser resuelta algebraicamente). Esto puede hacerse para todas esas ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para las ecuaciones de grado cinco o más, puede resolverse para algunas ecuaciones pero, como demuestra el teorema de Abel-Ruffini, no para todas.

Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular de forma eficiente aproximaciones precisas de las soluciones de real o complejo de una ecuación algebraica univariante (véase Resolución numérica de ecuaciones no lineales) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariantes (véase Sistema de ecuaciones algebraicas).

Una ecuación diferencial ordinaria o EDO' es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término ordinaria se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial, que puede ser con respecto a más de una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, que tienen soluciones que se pueden sumar y multiplicar por coeficientes, están bien definidas y se entienden, y se obtienen soluciones exactas de forma cerrada. Por el contrario, las EDO que carecen de soluciones aditivas son no lineales, y su resolución es mucho más complicada, ya que rara vez se pueden representar mediante funciones elementales de forma cerrada: En cambio, las soluciones exactas y analíticas de las EDOs están en forma de serie o integral. Los métodos gráficos y numéricos, aplicados a mano o por ordenador, pueden aproximar las soluciones de las EDOs y tal vez proporcionar información útil, a menudo suficiente en ausencia de soluciones exactas y analíticas.

Una Ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial que contiene funciones desconocidas multivariables y sus derivadas parciales. (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias, que tratan con funciones de una sola variable y sus derivadas). Las EDP se utilizan para formular problemas que implican funciones de varias variables, y se resuelven a mano o se utilizan para crear un modelo informático pertinente.

Las EDP pueden utilizarse para describir una amplia variedad de fenómenos como el sonido, el calor, la electrostática, la electrodinámica, el flujo de fluidos, la elasticidad o la mecánica cuántica. Estos fenómenos físicos aparentemente distintos pueden formalizarse de forma similar en términos de EDP. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen modelar sistemas dinámicos unidimensionales, las ecuaciones diferenciales parciales suelen modelar sistemas multidimensionales. Las EDP encuentran su generalización en las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono de revolución.

En la geometría euclidiana, es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto del espacio, por ejemplo mediante una cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar las figuras geométricas mediante ecuaciones. Un plano en un espacio tridimensional puede expresarse como el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, donde ${\displaystyle a,b,c}$ y ${\displaystyle d}$ son números reales y ${\displaystyle x,y,z}$ son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto del sistema dado por la retícula ortogonal. Los valores ${\displaystyle a,b,c}$ son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una recta se expresa como la intersección de dos planos, es decir, como el conjunto de soluciones de una única ecuación lineal con valores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o como el conjunto de soluciones de dos ecuaciones lineales con valores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Una sección cónica es la intersección de un cono con ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ y un plano. En otras palabras, en el espacio todas las cónicas se definen como el conjunto de soluciones de una ecuación de un plano y de la ecuación de un cono recién dado. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los focos de una cónica.

El uso de las ecuaciones permite recurrir a un amplio campo de las matemáticas para resolver cuestiones geométricas. El sistema de coordenadas cartesianas transforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez que las figuras se transforman en ecuaciones; de ahí el nombre de geometría analítica. Este punto de vista, esbozado por Descartes, enriquece y modifica el tipo de geometría concebido por los antiguos matemáticos griegos.

Actualmente, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque sigue utilizando las ecuaciones para caracterizar las figuras, también emplea otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal.

Un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano por un par de numérico o coordenadas, que son las distancias desde el punto a dos líneas fijas perpendiculares dirigidas, que se marcan usando la misma unidad de longitud.

Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio de tres dimensiones mediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, equivalentemente, mediante su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares).

Sistema de coordenadas cartesianas con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es (x − a)² + (y − b)² = r² donde a y b son las coordenadas del centro (a, b) y r es el radio.

La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes (nombre latinizado: Cartesius) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra. Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas) pueden describirse mediante ecuaciones cartesianas: ecuaciones algebraicas que implican las coordenadas de los puntos situados en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrado en un punto particular llamado el origen, puede ser descrito como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x² + y² = 4.

Una ecuación paramétrica para una curva expresa las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de una variable, llamada parámetro.[11][12]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

son ecuaciones paramétricas para el círculo unitario, donde t es el parámetro. En conjunto, estas ecuaciones se llaman una representación paramétrica de la curva.

La noción de ecuación paramétrica se ha generalizado a superficies, variedades y variedades algebraicas de mayor dimensión, siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad, y el número de ecuaciones es igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad (para las curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para las superficies la dimensión es dos y dos parámetros, etc.).