تكامل

تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا، إذا كانت مستطيلة الشكل، من طولها، عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر، فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.

تقريب التكامل لـ √x من 0 إلى 1, بـ■ 5 عينات على اليمين (فوق) و■ 12 عينة على اليسار (أسفل)

للبدء، اعتبر المنحنى${\displaystyle y=f(x)\,}$ بين x = 0 وx = 1, و${\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)\,}$. يكون السؤال:

ماهي المساحة تحت الدالة f, في الفترة 0 إلى 1?

ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل f. يكون الرمز لهذا التكامل هو:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.}$

كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع x = 0 إلى x = 1 و${\displaystyle y=f(x)\,}$ nbsp;= 0 and y = f(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه. بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل، وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات، باستعمال نقاط التقريب 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه ¹⁄₅√, ²⁄₅√, وهكذا حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات، نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497.\,\!}$

لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ f, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل، ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من العديد من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى متناهية في الصغر. بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل، تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,f(x) = x^1/2, تقترح علينا أن نبحث عن المشتق العكسي F(x) = ²⁄₃x^3/2, ونأخذ ببساطة F(1) − F(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة، لإجل f(x) = x^q, مع q ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي ${\displaystyle F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,}$ وبالتالي فإن القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=\int _{0}^{1}d\left({\textstyle {\frac {2}{3}}}x^{\frac {3}{2}}\right)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.}$

هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي، لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل، وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.

تكامل ريمان

المقالة الرئيسة: تكامل ريمان

صورة توضيحية لتكامل تقريبي عند استخدام مجموع ريمان, تم تقسيم المساحة الموجودة تحت المنحنى إلى مضلعات غير منتظمة (الضلع الذي يوجد تحته الخط الأحمر هو الأعرض). القيمة الدقيقة للمساحة هي 3.76; والقيمة الفرضية هي 3.648.

يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ مجموع ريمان للدالة الموجودة ضمن مجال جزئها المحدد Tagged partition. فإذا كان الفترة [a,b] هي فترة مغلقة في خطها الحقيقي؛ فإن جزئها المحدد ضمن الفترة [a,b] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

صورة توضيحية لمجموع ريمان عندما يتم تقسيم فترات مساحة الأضلاع إلى نصفين في كل مرة، لاحظ بأن القيمة التقريبية تزداد صحةُ كلما أزداد عدد الأضلاع.

وهذا سيجزئ الفترة [a,b] إلى n جزء ذو الفترة الجديدة [x_i−1, x_i]، حيث أن i يعتمد على عدد الأجزاء، كل واحد من هذه الأجزاء «تم تحديدها» بنقطة مفرِّقة t_i التي تنتمي للفترة [x_i−1, x_i]. إذاً، تُعرّف مجموع ريمان للدالة f الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [a,b] على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}$

و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى، ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ_i = x_i−x_i−1 هي عرض الفترة الجزئية i; لكي يكون تشبيك هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية، التي لها القيمة القصوى _i=1…n Δ_i. إذاً، تكامل ريمان للدالة f في الفترة [a,b] هي مساوية للقيمة S: فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [a,b] أقل من قيمة δ, ستكون:

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}$

لتكن ${\displaystyle f\in {{M}^{+}}(X,\sum {)}}$ نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس ${\displaystyle \mu }$ على أنه العدد الحقيقي الممتد ${\displaystyle \int {fd\mu }=\sup \int {\phi d\mu }}$ حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة ${\displaystyle \phi }$ التي تحقق ${\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)}$ إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس ${\displaystyle \mu }$ على أنه العدد الحقيقي الممتد ${\displaystyle \int \limits _{E}{fd\mu }={{\int {f\chi }}_{E}}d\mu }$ إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة ${\displaystyle f{{\chi }_{E}}}$.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.

من خواص التكامل (المحدد) :

• إذا كانت n ${\displaystyle \ni }$ مجموعة الأعداد الحقيقية وكانت ${\displaystyle f}$ قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx}$

• إذا كانت الدالة ${\displaystyle f}$ قابلة للتكامل على الفترة ${\displaystyle [a,b]}$ فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx}$

وإذا كانت ${\displaystyle b>a}$ فإن:

${\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

• إذا كانت الدالة ${\displaystyle f}$ قابلة للتكامل على الفترة ${\displaystyle [a,b]}$ وكانت النقطة ${\displaystyle c\in [a,b]}$ فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx}$

• إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ و${\displaystyle f(x)\geq 0}$ على هذه الفترة فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0}$

• إذا كانت الدالتان ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ قابلتين للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ فإن الدالة ${\displaystyle f_{1}\pm f_{2}}$ تكون قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ ويكون :

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{1}\pm f_{2})(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx\,\pm \int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx}$

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل على أنهما عمليات عكسية لبعضهما، حيث انه إذا كان لدينا إقتران متصل ق(س)، قمنا بتكامله أولاً، ومن ثم إشتقاقه، فإن النتيجة النهائية هي الإقتران المتصل ق(س) نفسه.[5][6][7]

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة. هذا الجزء من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

• كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي، الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432 هـ المملكة العربية السعودية

• المكامل
• التكامل الوظيفي

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي