زخم زاوي

العلاقة بين متجهات القوة F وعزم الدوران (τ)و القوة F والمسافة بين الجسم ومركز الدوران r وكذلك بين زخم الدوران L والزخم p والمسافة بين الجسم ومركز الدوران r لجسم يدور حول محور.

تُعرّف كمية الحركة الزاوية (أو الزخم الزاوي) لجسم يتحرك دائريا حول محور بالعلاقة:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

حيث:

${\displaystyle \mathbf {L} }$ كمية الحركة الزاوية للجسم،

${\displaystyle \mathbf {r} }$ بعد متجة المسافة بين الجسم عن مركز الدوران،

${\displaystyle \mathbf {p} }$ كمية الحركة الخطية الجسم وهي قيمة متجهه ٍ حيث أن ّ ${\displaystyle {\mathcal {}}p=m\times v}$ يعتبر جداء (أي حاصل الضرب).

وحدة الزخم الزاوي [نيوتن.متر.ثانية] ، أو kg·m²s⁻¹ وبالتالي جول.ثانية.

L يتبين ان الزخم الزاوي كمية متجهه وتكون عمودية على كل من اتجاه حركة الجسم p ومتجه المسافة بينه وبين المركز r. وذلك لأنه ناتج الضرب الإتجاهي واتجاهL يتبع قاعدة اليد اليمنى كما في الشكل.

• تنطبق تلك المعادلات بصفة أساسية سواء كان الجسم كبيرا أم صغيرا في حجم الذرة، إلا أنه في حالة الذرات فنجد أن الزخم الزاوي لدوران الإلكترون لا يمكن ان يتخذ قيماً مستمرة كما نعهد في حياتنا اليومية مع الأجسام الكبيرة وإنما يأخذ الزخم الزاوي للإلكترون قيماً منفصلة، وكذلك بالنسبة إلى اتجاهه فتكون أيضا اتجاهات معينة منفصلة، ويقال عن ذلك قيم واتجاهات كمومية و«يقفز» الإلكترون بينها.

الزخم الزاوي لجسم بكتلة m و3 متجهات موضع X و3 متجهات موضع P.

في الفيزياء النظرية الحديثة (القرن الـ20)، وصِف الزخم الزاوي باستخدام توصيف آخر بدلاً من الشبه متجه. في هذا التوصيف، الزخم الزاوي هو شحنة نويثر بصيغة من الرتبة الثانية مرتبطة بثبات دوراني. نتيجة لذلك لا يحفَظُ الزخم الزاوي في الـزمكان المنحني، إلا إذا كان ذو ثبات دوراني مقارب.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يمكن أن يعاد تفسير الزخم الزاوي لجسيم كعنصر مستوي:

${\displaystyle L=r\land p}$

حيث أن حاصل الضرب الخارجي ∧ يحل محل حاصل الضرب الاتجاهي × (حاصلي الضرب هذين لهما خصائص مشتركة لكنهما ليسا سواء).

لهذا التعريف ميزة إعطاء تفسير هندسي أدق كعنصر مستوي، معرف من متجه الـ x والـ p ، كما أن هذا التعبير يظل صحيحاً في أي عدد من الأبعاد (اثنان أو أكثر).

في الإحداثيات الكارتيزية:

${\displaystyle L=(xp_{y}-yp_{x})\,e_{x}\,\land \,e_{y}+(yp_{z}-zp_{y})\,e_{y}\,\land \,e_{z}+(zp_{x}-xp_{z})\,e_{z}\land \,e_{x}}$

${\displaystyle =L_{xy}\,e_{x}\land e_{y}+L_{yz}\,e_{y}\land e_{z}+L_{zx}e_{z}\land e_{x}\,,}$

أو بصورة مدمجة في الصياغة بالأدلة:

${\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}}$

في الميكانيكا النسبية، الزاخم الزاوي النسبي لجسيم يوصف كـممتد غير متماثل من الدرجة الثانية:

${\displaystyle M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }}$

الزخم الزاوي لجسم في الميكانيكا الكلاسيكية. يسار: البرم S هو زخم زاوي مداري للجسم حول كل نقطة. يمين: الزخم الزاوي المداري L حول محور. الأعلى: ممتد عزم القصور الذاتي I والسرعة الزاوية ω. الأسفل: زخم الحركة p والمساحة القطرية من محور. الزخم الزاوي الكلي (برم زائد مداري) هو J.

الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم يختلف من نواحي كثيرة عن الزخم الزاوي في الميكانيكا الكلاسيكية. في ميكانيكا الكم النسبية تختلف أكثر حتى، حيث أن التعريفات النسبية السابقة تصبح مؤثرات ممتدة.

عند وصف حركة جسيم مشحون في مجال كهرومغناطيسي، كمية الحركة المقننة P (مشتقة من دالة لاجرانج المنظومة) ليست ثابتة معيارياَ. كنتيجة، الزخم الزاوي المقنن ليس ثابت معيارياً أيضاً. في المقابل، كمية الحركة التي تكون فيزيائية، المسماة كمية الحركة الحركية هي (بنظام الوحدات الدولي SI):

${\displaystyle P=mv=p-eA}$

حيث:

e هي الشحنة الكهربائية للجسيم

A هو المتجه المغناطيسي الكامن للحقل الكهرومغناطيسي.

الزخم الزاوي الثابت معيارياً – الذي هو الزخم الزاوي الحركي- هو

${\displaystyle K=r\times (P-eA)}$

نفرق في علم الفلك بالنسبة إلى جرم سماوي مثل كوكب بين «زخم مداري» بسبب دوران الكوكب حول نجم كالشمس، وبين «زخم مغزلي» حيث يلف الكوكب حول محوره (مثلما تفعل الأرض، فهي تدور حول الشمس في مدار «زخم مداري» وتلف في نفس الوقت حول محورها «زخم مغزلي». يشكل مجموعهما كمتجهين «الزخم الزاوي الكلي». ويرمز له أيضا بمتجه. وتستخدم تلك الاصطلاحات أيضا في ميكانيكا الكم لوصف حركة الإلكترون في الذرة.

لمح نيوتن في كتابه «الأصول» عن الزخم الزاوي في أمثلته عن قانون الحركة الأول:

النحلة التي أجزائها تسحب جانباً على الدوام من حركات خطية بتماسكهم، لا توقف حركتها، إلا إذا تأخرت بفعل الهواء. الأجسام الأكبر للكواكب والمذنبات مقابلة مقاومة أقل في الفضاء الأكثر فراغاً، تحتفظ بحركتها التقدمية والدائرية لمدة أطول.

لم يحقق أكثر عن الزخم الزاوي بصورة مباشرة في «الأصول»:

من هذه الأنواع من الانعكاسات أحياناً تتصاعد الحركة الدائرية للأجسام حول مراكزها. لكن هذه حالات لم أخذ باعتبارها في الأتى، كما سيكون مضجراً أن أوضح كل شئ يرتبط بهذا الموضوع.[7]

لكن، على كل حال، إثباته الهندسي لقانون المساحات مثال عظيم لعبقرية نيوتن، وتثبت بطريقة غير مباشرة حفظ الزخم الزاوي في حالة القوة المركزية.

قانون المساحات

إثبات نيوتن الهندسي لقانون المساحات.

• زخم
• تردد زاوي
• تسارع زاوي
• بدارية
• بدارية لارمور
• عزم الدوران
• عزم القصور الذاتي
• كم مكاني
• ثابت البناء الدقيق
• جيروسكوب
• مسبار الجاذبية

• بوابة الفيزياء
• بوابة ميكانيكا الكم