ارتفاع (مثلث)

لنفترض أن D وE و Fتشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و Cعلى التوالي. عندئذ:

• المركز العمودي يقسم الارتفاع لقطعتين جداؤهما ثابت لجميع الارتفاعات الثلاثة:[5][6]

${\displaystyle AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.}$

الدائرة المتمركزة عند H و نصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي الدائرة القطبية للمثلث.[5]

• مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن القاعدة إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 1:[7] (هذه الخاصية والتالية لها، تطبيقان لخاصية أعم لأي نقطة داخلية وثلاثة خطوط شيفيّة ^{[الإنجليزية]} خلالها.)

${\displaystyle {\frac {HD}{AD}}+{\frac {HE}{BE}}+{\frac {HF}{CF}}=1.}$

• مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن الرأس إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 2:[7]

${\displaystyle {\frac {AH}{AD}}+{\frac {BH}{BE}}+{\frac {CH}{CF}}=2.}$

• و المترافق متساوي الزوايا لـلمركز العمودي هو المركز المحيطي للمثلث.[1]
• و المترافق الأيزوماتيكي للمركز العمودي هو نقطة المستوسط للمثلث المضاد-التتمة .[8]
• إذا كانت أربع نقاط في مستوى، بحيث تكون إحداهم المركز العمودي للمثلث الذي تشكله الثلاثة الأخرى ات، تسمى (الأربع نقاط) نظام مركزي عمودي أو رباعي الزوايا المركزي العمودي.

إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـR. عندئذ [9][10]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=12R^{2}.}$

وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، r_a, r_bو r_cيرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث، R

هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:[11]

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.}$

إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند P، بحيث تكون APوتر للدائرة المحيطة، فإن القدم Dتشطر الجزء HP:[6]

${\displaystyle HD=DP.}$

تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.[12]

المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .[13]

المركز العمودي H، ومركز الكتلة G، والمركز المحيطي O، والمركز N

لدائرة النقاط التسع يقعون على خط واحد، يُعرف بخط أويلر .[2] يقع مركز دائرة النقاط التسع في منتصف خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي [2]

${\displaystyle OH=2NH,}$

${\displaystyle 2OG=GH.}$

بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.

${\displaystyle HI<HG,}$

${\displaystyle HG>IG.}$

من حيث الأضلاع a, b, c

نصف القطر الداخلي rو نصف القطر المحيطي R[14]

${\displaystyle OH^{2}=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),}$[15]^{:p. 449}

${\displaystyle HI^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

لأي مثلث أضلاعه a, b, c ونصف محيطه s = (a + b + c) / 2 ،يعطى ارتفاع a

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع a

والارتفاع هو الارتفاع من A.

بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع a, b, cو الارتفاعات المقابلة h_a, h_bو h_c. ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي rبـالعلاقة [19] ^{:Lemma 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ h_a، والجانبان الآخران bو c، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) R، يعطى الارتفاع بالعلاقة

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

إذا كانت p₁, p₂و p₃هي المسافات العمودية من أي نقطة Pإلى الأضلاع،${\displaystyle h_{1}}$ و ${\displaystyle h_{2}}$و h₃هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا [5]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع a, b

cعلى التوالي ${\displaystyle h_{a}}$ و ${\displaystyle h_{b}}$ ، و ${\displaystyle h_{c}}$ ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$ ، إذا [20]

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

إذا كانت Eأي نقطة على الارتفاع ADلأي مثلث ABC، إذًا [21] ^:77–78

${\displaystyle AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.}$

لأي نقطة P داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .

في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc

مقارنة بين مبرهنة فيثاغورس المعكوسة ومبرهنة فيثاغورس

(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين b

و aعلى التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة [22][23]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$

يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.