Histoire des mathématiques

Illustration des Éléments d'Euclide, vers 1309 - 1316.

Alors que les mathématiques stagnent et même régressent en Occident à l'époque du Haut Moyen Âge (V^e – X^e siècle), elles connaissent un nouvel essor à partir du X^e siècle avec Gerbert d'Aurillac (938-1003) (moine bénédictin qui deviendra pape sous le nom de Sylvestre II) qui, après un séjour dans le monastère de Vic en Catalogne, introduit les chiffres arabes. Le rôle de la musique fut essentiel au Moyen Âge pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes.

Dès le XII^e siècle est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs[14]. Tolède, ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, à la suite de la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath.

L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, Léonard de Pise, avec son Liber abaci en 1202, contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en Pologne aux XIV^e siècle et XV^e siècle. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le Quadrivium mais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des botteghe d'abbaco ou « écoles d'abaques » où des maestri enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs « traités d'abbaque » que ces maîtres nous ont laissés[15].

C'est à la suite des travaux de Scipione del Ferro, repris par Tartaglia, et publiés par Cardan sur l'équation de degré trois que les nombres complexes furent introduits. Ils trouvent une première formalisation chez Rafaele Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré.

Jusqu'à la fin du XVI^e siècle, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le calcul algébrique apparaît en 1591 lors de la publication de l’Isagoge de François Viète avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par Harriot, Fermat et Descartes modifiera entièrement le travail algébrique en Europe).

Les mathématiques portent leur regard sur des aspects physiques et techniques. Créé indépendamment par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle).

En octobre 1623, Galilée publie un ouvrage sur les comètes, Il Saggiatore, dans lequel il énonce la mathématisation de la physique :

« La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l'univers, mais on ne peut le comprendre si l'on ne s'applique d'abord à en comprendre la langue et à connaitre les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d'en comprendre un mot[16]. »

Au-delà de l'héliocentrisme, se produit avec Galilée une grande révolution mentale, qui est celle de la mathématisation de la nature, c'est-à-dire l'idée que la langue du livre de la nature est celle des mathématiques[17].

En 1637, dans le Discours de la méthode, Descartes fait part de son goût pour les mathématiques lors de ses études au collège de la Flèche, et annonce leur développement futur[18] :

« Je me plaisais surtout aux mathématiques, à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons : mais je ne remarquais point encore leur vrai usage ; et, pensant qu’elles ne servaient qu’aux arts mécaniques, je m’étonnais de ce que leurs fondements étant si fermes et si solides, on n’avait rien bâti dessus de plus relevé. »

Leonhard Euler par Emanuel Handmann.

L'univers mathématiques du début du XVIII^e siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler[19] et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle.

Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (Introductio in analysin infinitorum - Euler, 1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces). Leonhard Euler, dans Calculi differentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1770), essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. Jean le Rond d'Alembert puis Joseph-Louis Lagrange lui emboîtent le pas. En 1797, Sylvestre-François Lacroix publie Traité du calcul différentiel et intégral qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du XVIII^e siècle. La famille Bernoulli contribue au développement de la résolution des équations différentielles.

La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques (Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes[20].

Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur ℝ possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires[21]. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique d'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement : on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au XVIII^e siècle...

En arithmétique, Euler démontre le petit théorème de Fermat et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme 2²ⁿ + 1 (nombre de Fermat)[22]. Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des nombres premiers est divergente[23]. La conjecture de Bachet (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le théorème de Wilson (si p est premier, il divise (p – 1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat[22]. Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique[24]. La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant.

Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de Tschirnhaus en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, Étienne Bézout introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de Waring, celui d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations xⁿ – 1 = 0 (équation cyclotomique) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines[25] et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de groupe de permutations.

La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. Alexis Clairaut étudie les courbes gauches (1729). Gabriel Cramer publie en 1750 un traité sur les courbes algébriques. La grande figure de la géométrie du XVIII^e reste Gaspard Monge[26] : il développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline : la géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles

Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), Jean-Henri Lambert travaille sur la logique des relations[26].

C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des sept ponts de Königsberg et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens : un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au problème du cavalier en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, al-Adli ar-Rumi en donne une solution. Le poète cachemiri Rudrata en parlait aussi dans son Kavyalankara.

Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le problème de Goldbach, le problème de Waring[27]…

Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel.

Le XVIII^e siècle est aussi celui de l'Encyclopédie dans laquelle Jean le Rond d'Alembert fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle.

• Il existait depuis la fin du XVII^e siècle quelques académies qui publiaient leurs travaux et des résumés annuels. De plus quelques journaux avaient fleuri, tels que les Acta Eruditorum édités par Otto Mencke à Leipzig ou les commentaires de Petersbourg rendus célèbres par Euler. Mais ces journaux ou revues n'étaient pas spécialisés dans les mathématiques et accueillaient des mémoires de philosophie, d'histoire, de botanique, aussi bien que de mathématiques. Le début du XIX^e va voir apparaître des revues qui se spécialiseront dans la publication des mathématiques. Les éditeurs de ces revues sont Ferussac (pour le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques), Gergonne (pour les Annales de mathématiques pures et appliquées), Crelle (pour le Journal für die reine und angewandte Mathematik), Liouville (pour le Journal de mathématiques pures et appliquées) pour n'en donner que quatre avant 1840. Elles seront bientôt suivies par une foule d'autres revues que chaque université un peu célèbre se plait à financer, tels les Acta Mathematica de Mittag-Leffler en 1882.

Sofia Kovalevskaïa.

• La mécanique de Newton opère sa révolution. Utilisant le principe (variationnel) de moindre action de Maupertuis, Lagrange énonce les conditions d'optimalité du premier ordre qu'Euler avait trouvées en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, Hamilton, sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément.
• Delaunay, dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée[29]. Faye[30] s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : « Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible avant lui, et où nous admirons à la fois la simplicité dans la méthode et la puissance dans l'application ». Il résolut de faire le calcul au 7^e ordre là où ses devanciers (Clairaut, Poisson, Lubbock…) s'étaient arrêtés au 5^e.
• Le Verrier[31] appliquant la théorie newtonienne aux irrégularités d'Uranus que venait de découvrir Herschel, conjecture l'existence d'une planète encore inconnue (Neptune) dont il détermine position et masse par le calcul des perturbations.
• Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe admet trois intégrales premières algébriques et un dernier multiplicateur égal à 1. Le problème de l'intégration formelle par quadrature du mouvement nécessite une quatrième intégrale première. Celle-ci avait été découverte dans un cas particulier par Euler. La question est reprise par Lagrange, Poisson et Poinsot. Lagrange et Poisson découvrent un nouveau cas où cette quatrième intégrale est algébrique[32].
• Les deux cas, désormais classiques, du mouvement d'Euler-Poinsot et du mouvement de Lagrange-Poisson sont complétés, en 1888, par un nouveau cas découvert par Sofia Kovalevskaïa[33]. Poincaré avait montré qu'il ne pouvait exister de nouveau cas si l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspension n'est pas de révolution[32].
• Mach énonce un principe qui sera central dans les motivations de la relativité d'Einstein.
• Malgré ses succès, la mécanique aura du mal à trouver, dans l'enseignement, une place que les mathématiques ne veulent pas lui céder[34] et Flaubert pourra présenter comme une idée reçue que c'est une « partie inférieure des mathématiques ».

Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est Fourier, dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les séries de Fourier. Vers la même époque, les années 1820, Fresnel s'occupe d'optique ainsi que Bessel qui va introduire les fonctions de Bessel. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et d'Alembert, le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec Henri Navier et George Gabriel Stokes qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles, introduisant la viscosité. L'électricité fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'Ohm, de Biot, de Savart et d'Ampère mais c'est surtout le génie de Maxwell qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment Barré de Saint-Venant, Yvon Villarceau, Aimé-Henry Résal et son fils Jean Résal mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore du béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels Eiffel.

Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la loi de réciprocité quadratique, la répartition des nombres premiers et le dernier théorème de Fermat. Le XIX^e siècle offre des progrès considérables sur ces trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de théorie des nombres et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués.

• En méconnaissant totalement les travaux d'Euler publiés en 1784 sur la loi de réciprocité quadratique, Legendre (1785) et Gauss (1796) la retrouvent par induction. Gauss finit par en donner une longue démonstration complète dans ses Recherches arithmétiques. La démonstration est simplifiée dans le courant du XIX^e siècle, par exemple par Zeller[35] en 1852 où elle ne fait que deux pages. La loi de réciprocité quadratique est promise à un bel avenir par diverses généralisations.
• Eisenstein démontre la loi de réciprocité cubique.
• Depuis 1798, Legendre travaille à sa théorie des nombres. Il vient (en 1808) de démontrer le théorème de la raréfaction des nombres premiers et de proposer une formule approchée pour π(x), le nombre de nombres premiers plus petit que x. Ses recherches l'ont amené à reconsidérer le crible d'Ératosthène. La formule qu'il obtient est le premier élément d'une méthode qui prendra tout son sens au siècle d'après, la méthode du crible. Par la suite, en 1830, peu avant sa mort, il énonce une conjecture selon laquelle entre n² et (n + 1)² existe au moins un nombre premier. Cette conjecture reste non démontrée.
• La démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers inspire Lejeune-Dirichlet qui démontre une conjecture de Legendre : il existe une infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique de la forme an + b si a et b sont premiers entre eux. Pour cela il invente la notion de caractère arithmétique et les séries de Dirichlet.
• La conjecture de Legendre sur la répartition des nombres premiers est appuyée par Gauss et fait l'objet des travaux de Tchebychev en 1850. Il démontre un encadrement de π(x) conforme à la conjecture et il démontre le postulat de Bertrand selon lequel il existe un nombre premier entre n et 2n. Mais la conjecture de Legendre ne sera démontrée qu'en 1896, par Hadamard et La Vallée Poussin indépendamment.
• Le résultat le plus important est le mémoire de Riemann de 1859 qui reste encore aujourd'hui le mémoire du XIX^e siècle le plus souvent cité. Riemann étudie dans ce mémoire la fonction ζ « de Riemann ». Cette fonction introduite par Euler dans son étude du problème de Mengoli est étendue aux valeurs complexes de s à l'exception de 1 qui est un pôle de résidu 1 (théorème de Dirichlet). Riemann énonce la conjecture, appelée hypothèse de Riemann, selon laquelle tous les zéros non réels sont de partie réelle égale à 1/2. Les démonstrations de Riemann ne sont pour la plupart qu'ébauchées. Elles sont complètement démontrées, sauf la conjecture de Riemann, par Hadamard et von Mangoldt, après 1892.
• Le dernier théorème de Fermat, qui avait déjà occupé Euler au siècle précédent est l'objet de nouvelles recherches par Dirichlet et Legendre (n = 5), Dirichlet (n = 14), Lamé (n = 7), démonstration simplifiée par Lebesgue. Kummer démontre que le dernier théorème de Fermat est vrai pour les nombres premiers réguliers en 1849. Il existe des nombres premiers irréguliers en nombre infini.
• Mertens démontre de nombreux résultats sur les fonctions arithmétiques, en particulier la fonction de Möbius. Il émet en 1897 une conjecture qui permettrait de démontrer l'hypothèse de Riemann. Sous sa forme forte, elle sera réfutée par Odlyzko et te Riele en 1985. La forme faible reste une énigme.

Georg Cantor est le créateur de la théorie des ensembles

• George Boole se lance dans des travaux qui vont mener à l'algèbre de Boole, à la logique symbolique et à la théorie des ensembles en voulant démontrer l'existence de Dieu. Le calcul des propositions est né. Augustus De Morgan énonce les lois qui portent son nom. La logique sort définitivement de la philosophie.
• Frege pose les bases de la logique formelle et Cantor celle de la théorie des ensembles. Ni l'une ni l'autre ne sont comprises par nombre de mathématiciens et elles suscitent bien des inquiétudes. La question des fondements est posée. Elle ne sera partiellement résolue que tardivement au XX^e siècle. Déjà pointent les paradoxes, tel celui de Burali-Forti, celui de Russell, celui de Richard ou celui de Berry.

Gaspard Monge

• Le siècle débute par l'invention de la géométrie descriptive par Gaspard Monge[36].
• Delaunay classa les surfaces de révolution de courbure moyenne constante, qui aujourd'hui portent son nom : surface de Delaunay.
• Héritier des siècles précédents, le siècle va voir s'accomplir la résolution des grands problèmes grecs par la négative. La trisection de l'angle à la règle et au compas est impossible en général. Il en est de même de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. Concernant la quadrature du cercle, le XVIII^e siècle avait montré que π est irrationnel. Liouville, définissant les nombres transcendants en 1844, ouvre la voie à l'étude de la transcendance dont les deux monuments du XIX^e siècle restent les théorèmes d'Hermite (1872) sur la transcendance de e et de Lindemann (1881) sur celle de π, rendant impossible la quadrature du cercle par la règle et le compas[37]. C'est à la fin du siècle que se fait jour la conjecture, que démontrera le siècle d'après en le théorème de Gelfond-Schneider, que a et exp(a) ne peuvent être simultanément algébriques.
• L'autre héritage concerne le postulat d'Euclide. Le problème avait en fait été quasi résolu par Saccheri mais celui-ci n'avait pas vu qu'il était près du but. Les travaux de Gauss sur les surfaces amènent János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski à remettre en cause le postulat des parallèles. Ils inventent donc une nouvelle géométrie où le postulat n'est plus vrai, une géométrie non euclidienne dont Poincaré donnera un modèle. Riemann, après eux, offrira une nouvelle solution non euclidienne, avant que l'ensemble ne forme la théorie des espaces de Riemann, qui fournira au siècle suivant un cadre à la théorie de la relativité généralisée.
• En généralisant la notion d'espace et de distance, Ludwig Schläfli arrive à déterminer le nombre exact de polyèdres réguliers en fonction de la dimension de l'espace[38].
• Felix Klein annonce le programme d'Erlangen[39].
• David Hilbert propose une axiomatique complète de la géométrie euclidienne en explicitant des axiomes implicites chez Euclide.

Evariste Galois. Sa vie est un véritable drame. À l'instar d'Abel, il meurt jeune. Son génie est méconnu de son vivant. Ses opinions politiques le mènent en prison. Ses amours le perdent : Il meurt en conséquence d'un duel pour une « coquette ».

• La représentation des complexes avait occupé bien du monde : depuis Henri Dominique Truel (1786)[40], Caspar Wessel[41] (1797) en passant par Jean-Robert Argand[42] (1806), C.V. Mourey[43]^,[44] (1828), pour aller à Giusto Bellavitis (1832). Hamilton, inspiré par cette représentation des complexes en a+ib, cherche à généraliser le corps des complexes. Il découvre le corps non commutatif des quaternions et par la suite Cayley découvre les octavions. Hamilton passera une grande partie de sa vie à proposer des applications de ses quaternions.
• Grassmann, en 1844, développe dans Die lineare Ausdehnungslehre une nouvelle voie pour les mathématiques et fonde ce qui deviendra la théorie des espaces vectoriels.
• Hamilton, en 1853, démontre ce qui deviendra le théorème de Cayley-Hamilton pour la dimension 4 à propos de l'inverse d'un quaternion. C'est Cayley, en 1857, qui généralise le résultat mais ne le démontre qu'en dimension 2. Frobenius, en 1878, donne la première démonstration générale.
• Les résultats de Galois et de Kummer montrent qu'une avancée majeure en théorie algébrique des nombres suppose la compréhension de structures subtiles : les anneaux d'entiers algébriques sous-jacents à des extensions algébriques. Le cas le moins complexe est celui des extensions algébriques finies et abéliennes. Il semble simple, le résultat correspond aux structures qu'avaient étudiées Gauss au début du siècle pour résoudre les problèmes de l'antiquité de construction à la règle et au compas : les extensions cyclotomiques associées aux polynômes du même nom. Il faut néanmoins 50 ans et trois grands noms de l'algèbre pour en venir à bout à la fin du siècle : Kronecker, Weber et Hilbert. Il ouvre la porte à l'étude des extensions algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, Richard Dedekind s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures.
• Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes et algèbres de Lie. La théorie des systèmes de racines prend naissance.

• Legendre en 1805[45] 1811[46] puis Gauss en 1809[47] introduisent, sur des problèmes d'astronomie, la méthode des moindres carrés, ensemble de méthodes qui deviendront fondamentales en statistiques.
• Pierre-Simon de Laplace fait entrer l'analyse dans la théorie des probabilités dans sa théorie analytique des probabilités de 1812 qui restera longtemps un monument. Son livre donne une première version du théorème central limite qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces. Il faudra attendre 1901 pour en voir apparaître la première version générale par Liapounov. C'est aussi dans ce traité qu'apparaît la méthode de Laplace pour l'évaluation asymptotique de certaines intégrales.
• Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique, les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.
• La théorie moderne des probabilités ne prend réellement son essor qu'avec la notion de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897.

• La théorie, on l'a déjà dit, a été commencée par Euler dans sa résolution du problème des sept ponts de Königsberg. Elle prend une nouvelle tournure, singulière pour notre époque, quand on s'intéresse soudainement aux nœuds, au tout début des modèles atomiques.
• La question de la cartographie est un vieux problème qui avait été partiellement résolu par différents procédés de projection. Dans la question de la représentation la plus respectueuse de la topographie, la question avait eu un nouvel intérêt par le théorème de l'application conforme de Riemann et les fonctions holomorphes dont on sait qu'elles conservent les angles là où la dérivée ne s'annule pas. L'habitude des cartographes de colorer les États de couleurs différentes avait montré que quatre couleurs suffisaient. Cette constatation très ancienne amène, en 1852, Francis Guthrie à énoncer la conjecture des quatre couleurs[48]. Il faut attendre plus de vingt ans pour que Cayley s'y intéresse[49]. Un avocat, Alfred Kempe, proposa en 1879 une démonstration par réduction mais que Percy John Heawood réfuta en 1890 par un contre-exemple invalidant le procédé de coloriage de Kempe. Cependant la tentative de Kempe montrait que le nombre chromatique de la sphère était au plus 5. Ce n'est que bien plus tard que la conjecture des quatre couleurs sera démontrée.

• À la fin du XVIII^e siècle, faire des mathématiques consiste à écrire des égalités, parfois un peu douteuses, mais sans que cela choque le lecteur. Lacroix par exemple n'hésite pas à écrire${\displaystyle 1-1+1-1+...={\dfrac {1}{2}}}$sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/(1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée…
• C'est Cauchy qui met un peu d'ordre dans tout cela en montrant qu'une série numérique n'est commutativement convergente que si elle est absolument convergente. Mais Cauchy, qui pourtant n'est qu'à un doigt de la notion de convergence uniforme, énonce un faux théorème de continuité d'une série de fonctions continues qu'Abel contredit par un contre-exemple du 16 janvier 1826.
• C'est encore Cauchy qui se refuse à considérer la somme de séries divergentes, au contraire des mathématiciens du XVIII^e siècle dont Lacroix est l'un des héritiers.
• Gudermann, en 1838, utilise pour la première fois, la notion de convergence uniforme. En 1847, Stokes et Seidel définissent la notion d'une série convergeant aussi lentement que l'on veut, notion équivalente à la convergence uniforme. Mais leur réflexion n'est pas mûre. Weierstrass donne une définition de la convergence uniforme en 1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861.
• Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du XVIII^e siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires.
• Karl Weierstrass donne le premier la définition de la limite d'une fonction, notion un peu floue jusque-là, en termes de « ε, η ». La notion de limite supérieure, inventée par Cauchy, est expliquée clairement par Du Bois-Reymond.
• En 1869, Charles Méray, professeur à l'université de Dijon, donne, le premier, une construction rigoureuse des nombres réels par les classes d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Georg Cantor donnera une construction analogue de ℝ. Karl Weierstrass construit ℝ à partir de la notion d'«agrégats» tandis que Richard Dedekind crée ℝ de la notion de coupure de l'ensemble des rationnels.
• Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. Tchebyschev, dans sa démonstration élémentaire du postulat de Bertrand, est l'un des premiers à les utiliser.
• Un peu avant, Bessel et Parseval, en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval.
• La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de Fourier, même si ce dernier ne démontre pas la convergence des séries qu'il utilise. Il faudra attendre la fin du siècle pour que la question soit vraiment clarifiée par Fejér.
• Poincaré participe au concours du roi de Suède concernant les solutions du problème des trois corps[50]. Dans le mémoire de Stockholm (1889), il donne le premier exemple de situation chaotique. Il s'exprime ainsi :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur »

• Ce n'est qu'avec regret qu'on a abandonné les séries divergentes au début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certains cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de Cesàro est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le XX^e siècle va prolonger.

• La théorie des fonctions de la variable complexe, le grand sujet de tout le XIX^e siècle, prend sa source dans les travaux de Cauchy, bien qu'entrevue par Poisson[51]. Cauchy définit la notion d'intégrale de chemin. Il arrive ainsi à énoncer le théorème des résidus et les principales propriétés de l'intégrale « de Cauchy » et notamment la formule intégrale de Cauchy.
• Il justifie ainsi le développement en série de Taylor et trouve la formule intégrale des coefficients en dérivant sous le signe ∫. Il démontre les inégalités « de Cauchy » qui seront intensément utilisées, dans la théorie des équations différentielles notamment.
• Cauchy publie par la suite nombre d'applications de sa théorie dans des recueils d'exercices, notamment à l'évaluation d'intégrales réelles, qu'il n'hésite pas à généraliser en ce qu'on appelle aujourd'hui la valeur principale de Cauchy, un peu moins d'un siècle avant que Jacques Hadamard en ait besoin dans sa résolution des équations aux dérivées partielles par les parties finies de Hadamard (en) et que Laurent Schwartz n'en vienne aux distributions.
• La théorie des fonctions analytiques se développe rapidement. Cauchy définit le rayon de convergence d'une série entière à partir de la formule qu'expliquera parfaitement Hadamard dans sa thèse, à la suite des travaux de du Bois-Reymond qui donna une définition claire de la limite supérieure.
• Ceci permet à Liouville de démontrer son théorème et d'en déduire une nouvelle et élémentaire démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss qu'on avait eu tant de mal à démontrer au siècle avant.
• À la mort de Cauchy, le flambeau est déjà passé à Riemann (Théorème de l'application conforme, intégrale de Riemann remplaçant la conception de Cauchy…) et Weierstrass qui éclaircira la notion de point singulier essentiel et de prolongement analytique (bien qu'Émile Borel ait montré par la suite que certaines des conceptions du « maître » étaient erronées). Le point de vue « intégrale » de Cauchy se continue dans l'école française alors que le point de vue « série », développé par Weierstrass, se développe indépendamment et débouchera sur la conception des fonctions analytiques à plusieurs variables, Riemann tentant de faire le lien entre ces deux conceptions.
• La théorie de Cauchy vient juste à point pour résoudre enfin la question des intégrales elliptiques, théorie commencée par Legendre au siècle précédent. C'est Abel qui a l'idée de l'inversion des intégrales elliptiques et découvrit ainsi les fonctions elliptiques qu'on s'empressa d'étudier. La très belle théorie des fonctions elliptiques est enfin achevée lorsque paraissent le traité de Briot et Bouquet, théorie des fonctions elliptiques, 2^e édition, 1875 et le traité de Georges Henri Halphen en quatre volumes, interrompu par la mort de l'auteur.
• Le résultat le plus difficile de la théorie reste le théorème de Picard qui précise le théorème de Weierstrass. La première démonstration, avec la fonction modulaire, est bien vite simplifiée par Émile Borel à la fin du siècle.
• Le siècle s'est aussi beaucoup préoccupé de la théorie des équations différentielles et notamment de la théorie du potentiel, des fonctions harmoniques. Fuchs étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires. Émile Picard découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des équations intégrales (Ivar Fredholm, Vito Volterra…).
• Bien qu'engagée par Laplace et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la résolution des équations différentielles est effectuée par un électricien anglais, Oliver Heaviside, sans autre justification, en considérant l'opérateur de dérivation comme une quantité algébrique notée p. La théorie de la transformation de Laplace est née. Mais elle ne sera pleinement justifiée que par les travaux de Lerch, Carson, Bromwich, Wagner, Mellin et bien d'autres, au siècle suivant. Gabriel Oltramare donnera aussi un « calcul de généralisation » basé sur une idée voisine.
• Émile Borel commence l'étude des fonctions entières et définit la notion d'ordre exponentiel pour une fonction entière. Son but est d'élucider le comportement du module d'une fonction entière et notamment de montrer le lien entre le maximum du module de f sur le cercle de rayon R et les coefficients de la série de Taylor de F. Darboux montre que les coefficients de Taylor s'écrivent en fonction des singularités. D'autres, comme Méray, Leau, Fabry, Lindelöf, étudient la position des points singuliers sur le cercle de convergence ou le prolongement analytique de la série de Taylor.
• Poincaré définit et étudie les fonctions automorphes à partir des géométries hyperboliques. Il laisse son nom à une représentation par un demi-plan de la géométrie hyperbolique.
• Schwarz et Christoffel découvrent la transformation conforme qui porte leurs noms. Elle sera intensivement utilisée le siècle d'après par les moyens informatiques (Driscoll par exemple).
• L'apothéose est atteinte par la démonstration du théorème des nombres premiers, en 1896, par Hadamard et La Vallée Poussin indépendamment l'un de l'autre.

Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du XX^e siècle.

Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs.

• (de) Paul Bachmann, Zahlentheorie, 5 tomes, 1892 Tome 1 Tome 2 Tome 3 Tome 4 Tome 5
• János Bolyai, La science absolue de l'espace, 1868
• Charles Briot et Jean-Claude Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 1875
• Augustin Cauchy, Le Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : 1^re partie : Analyse algébrique, 1821
• Michel Chasles
  • Les trois livres de porismes d'Euclide, 1860
  • Traité de géométrie supérieure, 1852
  • Traité des sections coniques, faisant suite au Traité de géométrie supérieure, 1865
• Émilie du Châtelet, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, seule traduction française de Principia Mathematica, d'Isaac Newton, 1759
• Gaston Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, 4 volumes, 1887-1896, Volume 2 Volume 3 Volume 4
• Paul David Gustave du Bois-Reymond, Die Allgemeine Functionentheorie, 1882, Théorie générale des fonctions, 1887
• Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822
• (de) Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, 1884, Les Fondements de l'arithmétique
• Évariste Galois, Œuvres mathématiques, 1846
• (la) Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801, Recherches arithmétiques sur wikisource, 1807.
• Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, 2 volumes, 1896-1898, Volume 1 Volume 2
• (de) Hermann Günther Grassmann, Die lineare Ausdehnungslehre, 1844, La science de la grandeur extensive
• Georges Henri Halphen, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, 3 volumes, 1886-1891, Volume 1 Volume 2 Volume 3
• (en) William Rowan Hamilton, Lecture on Quaternions, 1853
• (de) David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899, Les principes fondamentaux de la géométrie, 1900
• Camille Jordan
  • Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870
  • Cours d'analyse de l'École polytechnique, 1882-1883, 3 volumes. Volume 1 Volume 2 Volume 3
• (de) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré), 1888
• Joseph-Louis Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, 1806
• Pierre-Simon de Laplace
  • Traité de mécanique céleste, 1798-1825
  • Théorie analytique des probabilités, 1812
• Adrien-Marie Legendre
  • Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 2 volumes, 1825-1826
  • Éléments de géométrie, ouvrage qui vient remplacer les Éléments d'Euclide.
  • Théorie des nombres, 1830
• Alexandre Liapounov, Problème général de la stabilité et du mouvement, 1892-1893
• (de) Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski, Pangeometrie
• James Clerk Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, 2 volumes, 1885-1887
• Charles Méray, Leçons nouvelles sur l'analyse infinitésimale et ses applications géométriques, 1894-1895
• (de) August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcul, 1827
• Gaspard Monge, La géométrie descriptive, an 7 = 1799
• Paul Painlevé, Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, 1897
• Émile Picard, Traité d'analyse, 3 volumes, 1892-1896
• Jean-Victor Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 2 volumes, 1822
• Joseph-Alfred Serret, Cours d'Algèbre supérieure, 2 volumes, 1877
• Jules Tannery et Jules Molk, Éléments de la théorie des fonctions elliptiques, 3 volumes, 1893-1898
• Félix Tisserand, Traité de Mécanique céleste, 4 volumes, 1889-1894
• (de) Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra, 2 volumes, 1898-1899

• Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du XIX^e siècle. Grâce à la mondialisation des connaissances, aux progrès des transports, puis aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du XIX^e siècle, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.
• Hormis deux congrès qui se sont tenus au XIX^e siècle, vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au XX^e siècle, un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.
• L'apparition de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.
• Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au XIX^e siècle, on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Actuellement plus de 15 000. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle^{[réf. nécessaire]}.
• On a soutenu 292 thèses d'État de mathématiques entre 1810 et 1901 en France[52]. À la fin du XX^e siècle, c'est le nombre de thèses soutenues annuellement.

Wedderburn est surtout connu pour avoir démontré que tout corps fini est commutatif.

Leonard Eugene Dickson commence l'étude systématique des corps finis[53] et obtient la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'anneau des polynômes associé y est explicitée. Avec Joseph Wedderburn, en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif.

Le congrès Solvay de 1927 a réuni les meilleurs physiciens de l'époque.

• Édouard Husson, dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.
• La mécanique devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de théorie de la relativité générale, entre 1909 et 1916, utilisant les développements récents de la géométrie différentielle intrinsèque (énoncée par Tullio Levi-Civita en 1900).
• Alors que Bruns avait démontré en 1887 que toute nouvelle intégrale première du problème des trois corps était nécessairement une combinaison des dix intégrales premières déjà connues et que Poincaré avait montré en 1889 la divergence des séries utilisées comme solutions du problème (séries de Lindstedt) et même le caractère chaotique des solutions, Sundman, en 1909, résout le problème des trois corps en donnant une série analytique convergente pour tout temps.
• La relativité générale permet de théoriser l'univers dans son ensemble, la cosmologie moderne est née. L'univers statique d'Einstein et celui de De Sitter sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les équations de Friedman, aidé par les recherches de Hubble et Humason qui viennent de découvrir qu'un décalage vers le rouge systématique trahit une expansion de l'Univers.
• En 1900, Max Planck cherchant un modèle rendant compte correctement du phénomène du corps noir, introduit une constante signifiant que l'échange d'énergie entre les ondes lumineuses et la matière se fait de manière discontinue. Cette constante permet d'écrire des formules qui donnent des résultats en accord avec les mesures expérimentales (par exemple le modèle de Bohr en 1913), sans que personne en comprenne la cohérence avec les principes de base de la physique. En 1924, Louis de Broglie, partant de l'idée de l'identité entre le principe de Fermat pour les ondes et le principe de moindre action de Maupertuis pour les corps matériels (la constante de Planck homogénéisant les dimensions), associe à toute particule une onde Ψ, et retrouve ainsi plusieurs résultats expérimentaux. L'école de Copenhague interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à considérer le module de l'onde Ψ comme une probabilité d'état (position, vitesse, etc) de la particule, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen. Les notions de base de la physique (particule, matière, position, force, etc) perdent rapidement leurs caractères intuitifs car leurs propriétés, décrites par les mathématiques, transgressent les visualisations géométriques. La mécanique quantique utilise intensément les équations différentielles, puis, à partir de la seconde quantification de Dirac, nécessite l'utilisation et le développement de la théorie des opérateurs. À partir des années 1960, l'essentiel des résultats de la physique des particules est théorisé à partir des groupes et algèbres de Lie. Les différentes tentatives d'unification de la relativité générale et de la physique quantique sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la théorie cinématique de Milne, les spéculations d'Eddington sur le nombre 137, la théorie de Bondi et Gold… apportent chacune une idée nouvelle, géométrique en général, mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la théorie des cordes, la théorie M… qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La géométrie non commutative, développée à partir de la théorie des opérateurs, est une autre piste suivie par certains.

• Le siècle commence par la thèse de Lebesgue Intégrale, longueur, aire qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont créées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock…). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.
• La théorie de Lebesgue mène à l'étude des espaces L^p. Et sur les traces de Hilbert, Riesz, Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique[54]. S'illustrent ainsi Gelfand, Chilov (en), Schwartz, Vekoua. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet à Sergueï Sobolev et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.
• La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un espace de Hilbert a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. Hermann Weyl, de son côté, fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. John von Neumann développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoints non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Frigyes Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.
• En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.
• Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (XVII^e siècle) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul.

• La théorie des groupes occupe beaucoup de monde. Notamment les groupes finis sporadiques dont l'étude ne sera achevée que dans les années 1980. L'étude des groupes de Lie se poursuit et l'algébrisation de la physique devient un enjeu majeur.

• Poincaré énonce en 1904 la conjecture qui porte son nom : « Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3 ». Elle sera démontrée en 2003 par Grigori Perelman.

• Dans l'étude des équations différentielles, Painlevé découvre de nouvelles transcendantes. Son étude est continuée par Gambier.
• Un mémoire de Henri Dulac[55], de 1923, contient l'énoncé qu'un champ de vecteurs X à coefficients polynomiaux du plan possède au plus un nombre fini de cycles limites (un cycle limite est une courbe intégrale analytique fermée et isolée de X) qui suscitera beaucoup de travaux complémentaires avant de devenir le théorème de Dulac. À l'instar de nombre de théorèmes « démontrés », la démonstration fut contestée dans les années 1960. Celle de Dulac comportait des « trous » mis en évidence par des contre-exemples de Ilyashenko. Le théorème de Dulac devint la conjecture de Dulac. Puis la preuve fut complétée par Jean Écalle[56] et la conjecture de Dulac retrouva son statut de théorème sous la forme : « Pour tout champ de vecteurs analytique dans le plan, les cycles limites ne s'accumulent pas. »

• La thèse de Cahen (1894) avait fait l'objet de nombreuses critiques. Ce fut l'occasion de nouvelles études dans les séries de Dirichlet et la théorie des fonctions L, particulièrement par Szolem Mandelbrojt.
• Robert Daniel Carmichael découvre les nombres de Carmichael en 1909. Il faut attendre 1994 pour qu'Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il y en a une infinité[57]. Plus précisément, ces auteurs montrent que le nombre C(x) de nombres de Carmichael inférieurs à x est minoré par x^2/7 à partir d'un certain rang. Divers auteurs ont donné des majorations de C(x).
• On s'attacha à simplifier les preuves du théorème des nombres premiers (Landau, Erdős et Selberg…) et celles du théorème de Picard (Borel). La fonction zêta de Riemann, dans le but de démontrer l'hypothèse de Riemann, est l'objet de très nombreuses recherches de Hardy et Littlewood, Speiser, Bohr, Hadamard… sans pour autant que le mystère ne soit résolu. Titchmarsh écrit en 1951 un traité sur la théorie de la fonction ζ de Riemann qui reste l'un des plus complets.
• Le problème de Waring est partiellement résolu par Hilbert en 1909 qui montre l'existence de g(k) tandis que Wieferich s'attaque à la détermination du plus petit g(k) pour un entier k donné. Le problème de la détermination de G(k) est commencé par Hardy et Littlewood qui énoncent même une conjecture non encore démontrée. Les majorations de G(k) données par Vinogradov ont été améliorées par Heilbronn (1936), Karatsuba (1985), Wooley (1991). On connait les valeurs de G(k) pour k compris entre 2 et 20 par les travaux de Landau, Dickson, Wieferich, Hardy et Littlewood… Linnik donna une méthode de résolution du problème de Waring par une voie purement arithmétique en 1943, utilisant une idée de Schnirelmann.
• Viggo Brun démontre en 1919 la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, en utilisant une méthode issue du crible de Erathostène-Legendre qui restera comme le crible de Brun, inaugurant la méthode du crible moderne qui se développe principalement avec Selberg.
• Une forme faible de la conjecture de Goldbach est résolue par Vinogradov en 1936 en montrant que presque tous les nombres entiers impairs s'écrivent comme somme de trois nombres premiers.

Andrew Wiles.

• André Weil démontre l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta locales en 1940 et énonce les conjectures qui portent son nom, qui sont démontrées dans le siècle.

Pierre Deligne en 2004. Sa démonstration d'une des conjectures d'André Weil fut un « coup de tonnerre dans le ciel serein de la théorie des nombres ».

• Pierre Deligne démontre, contre toute attente, la conjecture de Weil sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius en géométrie algébrique[58].
• Des travaux d'Yves Hellegouarch lient dès les années 1960 le dernier théorème de Fermat à l'arithmétique de courbes algébriques particulières, les courbes elliptiques, mais ce n'est qu'au milieu des années 1980 que Kenneth Ribet montre que démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou conjecture modulaire), qui affirme un lien précis entre les fonctions modulaires et les courbes elliptiques, entraînerait le dernier théorème de Fermat. Au bout de sept ans de recherches, Andrew Wiles annonce en 1993, au cours d'une série de conférences sur les courbes elliptiques et leurs représentations lors d'un colloque à Cambridge, la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil pour une large famille de courbes elliptiques (ce qui suffit pour le théorème de Fermat). Un problème technique retarde plusieurs mois la mise au point de la preuve, mais fin 1994, le dernier théorème de Fermat est démontré. Peu après, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est complètement démontrée.

• De nombreux théorèmes puissants et inattendus sont démontrés, comme, généralisant la caractérisation des graphes planaires, le théorème de Robertson-Seymour.
• Mais c'est surtout les progrès de l'informatique qui amènent, par exemple, à la démonstration du théorème des quatre couleurs, ou, de façon plus anecdotique, à montrer qu'il existe plus de 13 267 364 410 532 solutions au problème du cavalier (Wegener (de) et Brendan McKay, indépendamment ; Ernesto Mordecki (en), un mathématicien uruguayen, en 2001, a majoré le nombre des solutions à 1,305.10³⁵).

• La première véritable preuve du théorème de l'application conforme de Riemann (1851) est donnée par Constantin Carathéodory en 1912 en utilisant les surfaces de Riemann. Elle est bientôt simplifiée par Koebe. Une autre preuve est donnée en 1922 par Fejér et Riesz, elle-même simplifiée par Ostrowski et Carathéodory.
• Carathéodory énonce et démontre en 1906 un lemme qu'il appelle lemme de Schwarz. Son énoncé, bien que très simple, va se révéler extraordinairement fécond après que Pick l'a étendu en 1916. De nombreuses autres extensions, celles de Carathéodory (1926) et de Nehari (en) (1947) par exemple, suivront. On verra le lien entre le lemme de Schwarz et la métrique de Poincaré sous-jacente.
• Bieberbach, en 1916, va émettre une conjecture généralisant le lemme de Schwarz qui ne sera définitivement résolue que par Louis de Branges de Bourcia, après près de 70 ans de recherches, en 1985.
• Après la Première Guerre mondiale, la communauté mathématique française, qui avait perdu beaucoup de ses membres, se replia sur son sujet favori : l'analyse complexe et la théorie des fonctions analytiques dont elle était la principale instigatrice.
• La théorie des fonctions entières d'ordre infini est l'œuvre d'Otto Blumenthal vers 1913.
• L'importance de la formule de Jensen s'affirme dans la théorie de la croissance initiée par Émile Borel[59].
• La théorie des fonctions presque périodiques, initiée par Bohr, est développée par différents auteurs tels que Favard, Levitan,Besicovitch et Weyl, avant d'être intégrée à la théorie des groupes abéliens localement compact développée par Von Neumann.
• À la frontière entre la théorie des nombres premiers et l'analyse complexe, la théorie de la fonction zêta de Riemann est développée depuis la fin du XIX^e siècle. Le traité de Landau de 1909, qui rassemblait en une théorie cohérente les connaissances de l'époque, suscite de nouvelles recherches et reste une source d'inspiration jusqu'au traité de Titchmarsh de 1951 qui le remplace. Les travaux de Vinogradov, commencés dans les années 1930, aboutissent aux estimations de la région sans zéro de la fonction zêta de Riemann qu'on n'arrive pas à améliorer depuis 1959. Parallèlement les fonctions L sont étudiées.

Donald Knuth

• Sur la question des fondements, les mathématiciens se disputent allègrement, et des branches apparaissent sous l'impulsion de Brouwer, de Henri Poincaré… Cependant la majorité de la communauté mathématique adhère à l'axiome du choix dont Kurt Gödel montrera en 1938 que, tout comme l'hypothèse généralisée du continu, il pouvait être ajouté aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans introduire de contradictions[60]. En réalité, ces deux énoncés sont indépendants des autres axiomes : ce sont des propositions indécidables (Paul Cohen, 1963). Les démonstrations de non-contradiction fleurissent (sous réserve de la non-contradiction de la théorie des ensembles).
• Le programme que David Hilbert promeut dans les années 1920, lance les recherches sur la théorie de la démonstration. Hilbert souhaite assurer les fondements de mathématiques, et en particulier le maniement d'objets infinis, par des preuves de cohérence (non contradiction) suffisamment élémentaires des théories mathématiques. On notera les travaux de Herbrand (1930) et de Gentzen, trop vite décédés, le premier en 1931, le second en 1945.
• En 1931, Gödel montre avec son premier théorème d'incomplétude, que pour toute théorie axiomatique arithmétique non contradictoire, il existe des énoncés arithmétiques vrais qui ne sont pas démontrables dans cette théorie. Il en déduit son second théorème d'incomplétude : la cohérence d'une théorie arithmétique comme l'arithmétique de Peano, ou plus généralement d'une théorie qui permet de formaliser l'arithmétique (comme la théorie des ensembles) ne peut être démontrée dans la théorie elle-même si celle-ci est cohérente, résultat qui rend irréalisable le programme de Hilbert, du moins sous sa forme initiale.
• Church invente le lambda calcul et énonce sa thèse, Turing invente la machine abstraite qui porte son nom et Kleene précise la définition des fonctions récursives. La notion de fonction calculable est inventée. Matiyasevich démontre qu'il n'existe pas d'algorithme qui permette de dire si une équation diophantienne est résoluble, donnant ainsi une réponse négative aux dixième problème de Hilbert[61]. La théorie des automates et la théorie des langages apparaissent.
• Donald Knuth publie son encyclopédie sur l'art de la programmation et crée une nouvelle discipline : l'analyse d'algorithmes. Il crée aussi le langage de composition de textes TeX, universellement utilisé pour les écrits scientifiques.

• La notion de mesure développée par Émile Borel en 1897 est complétée par Henri-Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration[62]. Cette notion d'analyse est utilisée par les probabilistes pour une définition plus rigoureuse de la probabilité et entre autres de la densité de probabilité
• La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901[63] et la première preuve du théorème moderne donnée par Paul Lévy en 1910.
• En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov[64] pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites web sur Google.
• En 1933, la théorie des probabilités sort d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devient une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorov.
• Kiyoshi Itō met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Döblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

• Richard Courant introduit les éléments finis en 1940. Cette méthode sert à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Elle ne prendra véritablement de l'importance qu'avec l'informatique et des procédés de maillage performants et adaptés, qui n’apparaissent pas avant les années 1980.
• Les méthodes de Monte-Carlo se développent, sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale dans le cadre des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Elles sont nommées ainsi par allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Ces méthodes probabilistes servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, d'équations différentielles stochastiques, et d'estimations d'intégrales multiples.

• Si l'acceptation de l'axiome du choix permet de démontrer l'existence de bases dans les espaces vectoriels de dimension infinie, notamment les espaces de Hilbert, cela a aussi des conséquences plus étranges, comme le paradoxe de Banach-Tarski : il existe un découpage d'une sphère parfaite en cinq morceaux tel qu'avec les morceaux on puisse reconstituer deux sphères parfaites de même diamètre que la première.
• D'autres curiosités, comme le théorème du retournement de la sphère de Smale (qui utilise l'axiome du choix), sont démontrées.

La conjecture de Poincaré est démontrée en 2003 par Grigori Perelman.

• Jean C. Baudet, Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2002.
• Jean C. Baudet, Histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2014.
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, Éditions du Renouveau pédagogique, Montréal, 1973.
• Claudio Bartocci (dir.) et Piergiorgio Odifreddi (dir.) (trad. de l'italien, préf. Michel Blay), La mathématique, vol. 1 : Les lieux et les temps, Paris, CNRS, 2009, 845 p. (ISBN 978-2-271-06817-0, présentation en ligne)
• Denis Guedj, Le Théorème du Perroquet, Weidenfeld & Nicolson, 1998.
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres
• Roshdi Rashed, D'Al-Khwarizmi à Descartes. Études sur l'histoire des mathématiques classiques, Hermann, 2011

• Histoire des sciences
• Chronologie de l'algèbre
• Histoire de l'analyse
• Histoire de l'analyse fonctionnelle
• MacTutor History of Mathematics archive

• Liens sur l'histoire des mathématiques (2)
• Histoire des mathématiques à Béjaia
• Dans la lettre de l'Académie des sciences"Histoire et philosophie des sciences" (pdf 2,12 Mo) - n^o 14 / hiver 2004: Mathématiques de la Chine ancienne
• Cnrs images des mathématiques : Histoire des mathématiques
• Site recensant les étymologies des concepts mathématiques
• (en) The History of Mathematics David R. Wilkins, Trinity College, Dublin
• Jean-Marie De Koninck et Bernard R. Hodgson, « Un ensemble de mathématiciens de l'Antiquité à aujourd'hui », 2007

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