متسلسلة قوى

الدالة الأسية (باللون الأزرق), ومجموع الحدود n+1 الأولى لمتسلسلة القوى لماكلورين (باللون الأحمر).

يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x²+0x³+0x⁴

المتسلسلة الهندسية : ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$ حيث 1 >|x| .

• معادلة الدالة الاسية : ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$
• معادلة الجيب : ${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$

الاثنان الأخيران هما أيضا امثلة لمتسلسلات تايلور.

إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة ${\displaystyle x=\alpha }$، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق ${\displaystyle |x|<|\alpha |}$. مجال التقارب هو القطعة المفتوحة ${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$.

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ،(${\displaystyle 0\leq R<\infty }$ ) حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R < |x، المتسلسلة لا تتقارب. إذا كان R مساويا للصفر، المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0. إذا R=∞; حينها المتسلسلة تتقارب لكل x. يسمى R نصف قطر التقارب أو قطر التقارب أو شعاع التقارب للمتسلسلة.

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ هو :

${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$

يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها تحليلية إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل وإلى امتداد تحليلي.

يمكن تحديد متسلسلة القوى لدالة عكسية لدالة تحليلية باستعمال مبرهنة العكس للاغرانج.

• تقريب خطي
• متغير عشوائي

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي