متسلسلة فورييه

قد تكون قد ظهرت أولى الاعتبارات للمتسلسلات المثلثية عند العالم البريطاني بروك تايلور في كتاب له عنوانه Methodus Incrementorum Directa et Inversa ما قد يترجم إلى العربية ب طرق تزايدية مباشرة وعكسية. نُشر هذا الكتاب في عام 1715 حيث أعطى إشارة انطلاق لبحث مكثف حول الحبال المتذبذبة وحول انتشار الصوت. شكل هذان الموضوعان جزءا أساسيا من البحث خلال القرن الثامن عشر كله.

على سبيل المثال، عمل فاختلف كل من لورن دالمبير وليونهارت أويلر ودانييل برنولي على معضلة الحبال المتذبذبة.

سميت هذه المتسلسلات هكذا نسبة إلى العالم الفرنسي جوزيف فورييه (1768-1830)، الذي حقق تطورات مهمة في دراسة المتسلسلات المثلثية، بعد أن تعرضن لبحث بدائي من طرف كل من ليونهارت أويلر ولورن دالمبير ودانييل برنولي. أبدع فورييه هذه المعادلات من أجل حلحلة معادلة الحرارة في صفيحة معدنية، ناشرا نتائجه الأولى في عام 1807، في عمل له عنوانه بحث حول انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة. نشر بعد ذلك عملا آخر له عنوانه نظرية تحليلية للحرارة. كان ذلك عام 1822. أعلن فورييه عن اختراعه الكبير والمتمثل في القول أن كل دالة يمكن أن يُعبر عنها بواسطة متسلسلة مثلثية، عام 1807 في الأكاديمية الفرنسية.

معادلة الحرارة هي معادلة تفاضلية جزئية. قبل عمل فورييه، لم تكن معروفةً حلحلةٌ لمعادلة الحرارة في شكلها العام.

من حيث وجهة نظر معاصرة، تعتبر أعمال فورييه غير رسمية. سبب ذلك هو نقصان في تحديد مفهوم دقيق للدالة وللتكامل في بداية القرن التاسع عشر. فيما، بعد، عمل كل من يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه وبرنارد ريمان على نتائج فورييه بمزيد من الدقة والاحترام للتعريفات الموضوعة آنذاك لمختلف المفاهيم.

رغم أن الهدف الأساسي الذي حفّز تطوير متسلسلات فورييه هو حلحلة معادلة الحرارة، تبين واضحا أن نفس التقنية قد تستعمل في مجالات أخرى واسعة في الرياضيات والفيزياء، بالتحديد، المجالات اللائي يتعلقن بمعادلات تفاضلية خطية بمعاملات ثابتة.

بالنسبة للدالة الدورية (ƒ(x القابلة للتكامل على [−π, π]، الإعداد

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\quad n\geq 0}$

و

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx,\quad n\geq 1}$

يطلق عليها معاملات فورييه للدالة ƒ. أحدها يعطي المجاميع الجزئية لمتسلسلات فورييه للدالة ƒ, يرمز لها عادة بـ

${\displaystyle (S_{N}f)(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)],\quad N\geq 0.}$

المجاميع الجزئية لـ ƒ هي كثيرات حدود مثلثية. يتوقع المرء أن الدوال S_N ƒ هي تقريبات للدالة ƒ، وأن التقارب يتحسن عندما تقترب N من مالانهاية. يطلق على المجموع المحدود

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]}$

اسم متسلسلة فورييه للدالة ƒ.

لا تتقارب متسلسلات فورييه دائما، وحتى عندما تتقارب بالنسبة لقيمة معينة، x₀ of x، فإن مجموع السلسلة عند x₀ قد تختلف من قيمة ƒ(x₀) للدالة.

مخطط بياني لدالة دورية مكافئة لـ— موجة سن المنشار

مخطط حركي للأجزاء الخمسة الأولى من متسلسلة فورييه

باستعمال الصيغة المذكورة آنفا، لتكن معادلة سن المنشار التالية:

${\displaystyle f(x)=x,\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty .}$

تكون معاملات فورييه هنا

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi n^{2}}}\sin(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

يمكن إثبات أن متسلسلة فورييه تتقارب إلى (ƒ(x عند كل نقطة x حيث ƒ قابلة للتفاضل، وبالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}}$

(Eq.1)

نعنx = π، تقترب المتسلسلة من 0, وهذا نصف المجموع للنهاية اليسرى واليمنى للدالة ƒ عند x = π.