تكامل متعدد

التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد (الخطية، التبديلية، الرتابة، الخ). بالإضافة لذلك، وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة ^{${\displaystyle D\subseteq R^{n}}$} ودالة قابلة للتكامل ${\displaystyle f}$ على ${\displaystyle D}$، القيمة المتوسطة لـ ${\displaystyle f}$ على مجالها يعطى بـ: ${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,}$

حيث ${\displaystyle m(D)}$ هو مقياس ${\displaystyle D}$

في حالة ^{${\displaystyle T\subseteq R^{2}}$}، فإن تكامل: ${\displaystyle \ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

هو تكامل ثنائي ل ${\displaystyle f}$ على ${\displaystyle T}$. وإذا كانت ^{${\displaystyle T\subseteq R^{3}}$} فان تكامل:

${\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

يكون تكامل ثلاثي ل ${\displaystyle f}$ على ${\displaystyle T}$. لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)

أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل

في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة ${\displaystyle c}$ . إذا كانت ${\displaystyle c=1}$ وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R² فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R³

• مثلاً:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\$ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}} and ${\displaystyle f(x,y)=2\,\!}$

لنكامل ${\displaystyle f}$على D بالنسبة ل x أولا:

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12.}$

إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).

من الكافي –في الدوال على Rⁿ – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.

• مثال (1):

خذ f(x, y) = 2 sin  x − 3y³ + 5

وT = x² + y² ≤ 1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر 1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط).

مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:

${\displaystyle \iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$

2  sin  x' و 3y³ كلاهما دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T متماثل حول محور x وكذلك محور y؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.

• مثال (2):

خد الدالة (f(x, y, z) = x exp(y² + z² ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T = x² + y² + z² ≤ 4. الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x.

صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد (وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي).

إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور x و${\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} }$هي دالة مستمرة؛ فإن (α(x و (β(x (بالتعريف في الفترة [a, b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:

${\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}$

إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور y و${\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} }$هي دالة مستمرة؛ فإن (α(y و (β(y (بالتعريف في الفترة [a, b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:

${\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}$

مثال: D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال

اعتبر أن المنطقة ${\displaystyle D=\{(x,y)\$ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} (انظر الشكل المقابل). احسب: ${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

هذا المجال عمودي على كلا المحورين xو y. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.

في هذه الحالدة الدالتين هما:

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1\,\!}$

بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x = 0، عليه فان الفترة هي [a, b] = [0, 1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}}$

(في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة::${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}$

إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور yنقوم بالآتي:

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}$

وسنحصل على نفس النتيجة

مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy

امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما: T هو مجال عمودي على المستوى xy باعتبار الدوال (α (x,y و (β(x,y، إذن:

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}dx\,dy\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz}$

حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ«تغيير المتغيرات» لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.

مثال (1-أ)

الدالة هي ${\displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}}$;

إذا تبنينا هذا البديل ${\displaystyle x'=x-1,\ y'=y\,\!}$ لذلك ${\displaystyle x=x'+1,\ y=y'\,\!}$

نحصل على الدالة الجديدة ${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}}$.

• وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x ,y في المثال).
• التفاضلات (d(xو (d(y يتم تحويلها عبر محددة المصفوفة الجاكوبية

المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).

توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R² واثنان في R³)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.

التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

في R² إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات «معينة» يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية (انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية (P(x,y في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.

العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية:

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ).}$

مثال (2-أ):

الدالة هي ${\displaystyle f(x,y)=x+y\,\!}$

وبتطبيق التحويل نحصل على:

${\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).}$

مثال (2-ب):

الدالة هي ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!}$

في هذه الحالة لدينا:

${\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!}$

باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات ρو φ ابتداءً من x وy

مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.

مثال (2-ج):

المجال هو ${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!}$ وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة، إذن φ تتراوح بين 0 و 2π, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2

مثال (2-د):

المجال هو ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}}$ وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y (أنظر الشكل)، لاحظ ان φ تصف زاوية مستوى، بينما ρ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي:

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}.\,}$

المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho }$

والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل (x == ρ cos(φ و (y == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات dx dy في هذا التحويل تصبح ρ dρ dφ.

ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .}$

لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.

مثال (2-هـ):

الدالة هي ƒ(x, y) = x والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).

من التحليل السابق ل D نعلم فترة ρ (بين 2 و 3) وفترة φ (بين 0 و 2π).إذن لنقم بتغيير الدالة:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi .\,}$

أخيراً، لنطبق صيغ التكامل:

${\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,d\rho \,d\phi .}$

بتعريف الفترة يصبح لدينا:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}$

الإحداثيات الأسطوانية.

في R³ التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية:

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)}$

يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.

مثال (3-أ):

المنطقة هي ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}}$ (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة: ${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}$ (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).

ولأن العنصر z لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون ρ dρ dφ dz.

أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz.}$

هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.

مثال (3-ب):

الدالة هي ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!}$، ومجال التكامل هو هذه الأسطوانة: ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}}$

تحويل D في إحداثيات أسطوانية هو الآتي:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.}$

بينما تصبح الدالة::${\displaystyle f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!}$

أخيراً، نطبق صيغة التكامل::${\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz;}$

بتعديل الصيغة نحصل على::${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz}$

${\displaystyle =2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}$

الإحداثيات الكروية.

بعض المجالات في R³ لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في إحداثيات كروية ، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة:

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!}$

لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح ${\displaystyle \phi }$ بين 0 وπ.

من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.

مثال (4-أ): خذ المجال ${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16}$ (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة: ${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}$

محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \phi }$

المشتقات dx dy dz تتحول إلى ρ² sin(φ) dρ dθ dφ.

أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}$

يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R³ (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).

مثال (4-ب):

D هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) و${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!}$ هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.

تحويلها سهل جدا:

${\displaystyle f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )=\rho ^{2},\,}$

بينمانعرف فترة المنطقة T الناتجة عن تحويل D:

${\displaystyle (0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi ).\,}$

نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل:

${\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi ,}$

وبالتبسيط نحصل على:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \phi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\phi }$

${\displaystyle =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \phi \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}.}$

مثال (4-جـ):

المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a (${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!}$) و${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!}$ هي دالة المراد مكاملتها.

بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T هي:

${\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi .\,}$

ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على:

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }$.

بتطبيق صيغة التكامل نحصل على:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi }$

والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية، وتصبح فترات T الجديدة هي:

${\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};}$

تم التحصل على الفترة z بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D (وبعدها مباشرة تحويل x² + y² إلى ρ²). الدالة الجديدة تصبح أذن ρ². بتطبيق صيغة التكامل:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz}$.

نحصل بعدها على:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho .}$

الآن نطبق التحويل:

${\displaystyle 9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho \,d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!}$

(الفترات الجديدة تصبح ${\displaystyle 0,3a\longrightarrow 9a^{2},0}$). نحصل على:

${\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,dt}$

ولأن ${\displaystyle \rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!}$، نحصل على:

${\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt,}$

بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.

${\displaystyle 2\pi \left[\int 0^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int 0^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}}$

${\displaystyle =2\cdot 27\pi a^{5}(6-{\frac {2}{5}})=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}.}$

الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية

لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f خلال منطقة A :

${\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\$ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\}} و${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+4y\,\!}$

لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي::${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}\ (x^{2}+4y)\ dx\,dy}$

يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x، يجب إجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy. لاحظ أننا في البدء نعتبر y ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\ (x^{2}\ +\ 4y)\ dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}\ +\ 4yx\right){\Big |}_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}\ +\ 4y(14)\ -\ {\frac {1}{3}}(11)^{3}\ -\ 4y(11)\\&=471\ +\ 12y\\\end{aligned}}}$

بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}\ (471\ +\ 12y)\ dy&=(471y\ +\ 6y^{2}){\big |}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)\ +\ 6(10)^{2}\ -\ 471(7)\ -\ 6(7)^{2}\\&=1719\\\end{aligned}}}$

حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين:

• التكامل الثنائي:: ${\displaystyle \iint _{D}5\ dx\,dy}$

للدالة 5=(f(x,y محسوبة في المنطقة D من مستوى xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات::${\displaystyle \iiint _{\mathrm {parallelepiped} }1\,dx\,dy\,dz}$

• التكامل الثلاثي::${\displaystyle \iiint _{\mathrm {parallelepiped} }1\,dx\,dy\,dz}$

للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.

بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام:

• الأسطوانة: اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر R، والدالة ثابتة بالارتفاع h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي:

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

التحقق: الحجم = مساحة القاعدة* الارتفاع= ${\displaystyle \pi R^{2}\cdot h}$

• الكرة: وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة 1 في الكرة ذات نفس نصف القطر R:

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}$

• رباعي السطوح(هرم مثلثي ذو 4 وجوه): حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار، كمثال، ال normality على المستوى xy ولمحور x ومثل الدالة الثابتة 1.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,dx=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=}$

${\displaystyle ={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}}$

التحقق: الحجم = مساحة القاعدة * الارتفاع /3 = ${\displaystyle {\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}$

مثال لمجال معتل.