لوغاريتم طبيعي

لوغاريتم طبيعي
	منحنى دالة اللوغاريتم الطبيعي. تتزايد الدالة ببطء إلى زائد ما لا نهاية له عندما يصير x كبيرا، بينما تذهب إلى ناقص ما لا نهاية له بسرعة كبيرة عندما يقترب x من الصفر. محور y هو خط مقارب للدالة. منحنى دالة اللوغاريتم الطبيعي. تتزايد الدالة ببطء إلى زائد ما لا نهاية له عندما يصير x كبيرا، بينما تذهب إلى ناقص ما لا نهاية له بسرعة كبيرة عندما يقترب x من الصفر. محور y هو خط مقارب للدالة.
تدوين
تعريف الدالة
دالة عكسية
مشتق الدالة	على المجال
مشتق عكسي ; (تكامل)
الميزات الأساسية
مجال الدالة
المجال المقابل
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	على اليمين:
نهاية الدالة عند +∞
القيمة/النهاية عند 1	0
القيمة/النهاية عند e	1
خطوط مقاربة
جذور الدالة	1

اللوغاريتم الطبيعي (بالإنجليزية: Natural logarithm)‏ أو اللوغاريتم النِيبْيَري هي دالة لوغاريتمية للأساس e. وهي الدالة الاصلية للدالة $x\mapsto 1/x$ على $]0;+\infty [$ وتنعدم في 1. يُرمز لهذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أو ln بصفة عامة.

التاريخ

ويسمى هذا اللوغاريتم أيضا باللوغاريتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير الذي أنشأ أول الجداول اللوغاريتمية (والتي ليست في الواقع جداول اللوغاريتمات الطبيعية).

تم وضع مفهوم اللوغاريتم الطبيعي بواسطة غريغوار دو سان فنسان ^{[الإنجليزية]} و ألفونس أنطونيو دي ساراسا ^{[الإنجليزية]} قبل عام 1649. تضمن عملهم تربيع القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 من خلال تحديد مساحة القطاعات الزائدية. تولد حلولهم دالة «اللوغاريتم الزائدي» المطلوبة التي لها خصائص مرتبطة الآن باللوغاريتم الطبيعي.

وضعت أول إشارة للوغاريتم الطبيعي من قبل نيكولاس مركاتور في عمله Logarithmotechnia المنشور في 1668، [1] على الرغم من أن مدرس الرياضيات جون سبيديل ^{[الإنجليزية]} قام بالفعل في عام 1619 بتجميع جدول لما كان في الواقع لوغاريتمات طبيعية. لقد قيل إن لوغاريتمات سبيديل كانت ذات الأساس e ، لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا بسبب التعقيدات مع القيم المعبر عنها كأعداد صحيحة.

اتفاق حول الرموز

يشير الرمزان "ln x" و "log_e x" بشكل لا لبس فيه إلى اللوغاريتم الطبيعيّ لِـx. وقد يُفهم من الرمز "log x" دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لوغاريتم طبيعيّ لِـx. يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة وفي الرياضيات بالإضافة إلى بعض لغات البرمجة.^{(ملاحظة 1)} يُمكن استخدم الرمز "log x" في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللوغاريتم ذو الأساس 10.

تاريخياً، أُدخلت الرموز " $l.$ " و " $l$ " إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل،[2][3] وبقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل،[4] أما الرمز "log."[5] أو "log"،[6] فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log"[7] و "logh".[8]

أصل مصطلح اللوغاريتم الطبيعي

وحدة من منطقة تصف عدد يولر.

تنتج الدالة $n\mapsto (e^{n},e^{-n})$ وذلك من أجل n ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". وبالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد وخطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة والقطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. وبالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة xy = 1.
يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر e=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة واللوغاريتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة والأسيّة في كتاب مقدمة في تحليل اللانهاية (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللوغاريتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لوغاريتميّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور وكريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.
إن صلة الوصل بين المنطقة وأقواس الدائرة ودوال القطع الزائد تُظهر «طبيعيّة» اللوغاريتم.[9]

التعريفات

يعرف (ln(a بالمساحة الملونة الموجودة تحت منحنى الدالة f(x) = 1/x ابتداء من 1 حتى a.

رسمياً، في حالة a يُمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعيّ بأنه المنطقة تحت القطع الزائد 1/x. هذا هو التكامل

\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

هذه الدالة لوغاريتم لأن توافق المبدأ الأساسيّ للوغاريتم:

\ln(ab)=\ln a+\ln b.

يُمكن توضيح ذلك من خلال تقسيم التكامل الذي يُعرِّف ln(ab) إلى جزأين ومن ثُمّ المكاملة بالتعويض x = ta في الجزء الثاني، وفق الآتي:

{\begin{aligned}\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\,d(at)\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}

في المصطلحات الأوليّة، هذا مجرد تحجيم بواسطة 1/a في الاتجاه الأفقيّ وبواسطة a في الاتجاه العموديّ. لا تتغير المنطقة تحت هذا التحوّل، ولكن يتم إعادة تشكيل المنطقة بين a و ab. لأن الدالة a/(ax) تُساوي الدالة 1/x، تكون المنطقة الناتجة بالضبط ln(b).
يُعرَّف العدد e بأنه عدد حقيقيّ فريد a حيث ln(a) = 1.
بدلاً من ذلك، إذا عُرِّفت الدالة الأسيّة أولاً، قل باستخدام سلسلة لانهائيّة، قد يُعرَّف اللوغاريتم الطبيعيّ بالدالة العكسيّة مثلاً ln هي كالدالة الآتية exp(ln(x)) = x. وبما أن مجال الدالة الأسيّة متزايد بحدّة، فإن ذلك مُحدَّد بشكل جيّد لجميع قيم x الإيجابيّة.

خاصيات

اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي

نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على $]0;+\infty [$ وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\ \ln '(x)={\frac {1}{x}}$

و منه الدالة ln متصلة على $]0;+\infty [$ وبما ان مشتقتها موجبة قطعا فإنها تزايدية قطعا على $]0;+\infty [$

عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي

لتكن f دالة معرفة ب $\ f(x)=\ln(ax)$ حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي أي أن:

$\ f(x)=\ln(x)+k\ /\ k\in \ R$

و بما ان: f(1) =k فان: ln(a)=k اذن وبصفة عامة:

$\forall (a;b)\in ]0:+\infty [^{2},\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية:

$\forall (a;b)\in ]0:+\infty [^{2},\ \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
$\forall a\in ]0;+\infty [,\ \forall n\in \mathbb {Z} ,\ \ln(a^{n})=n\ln(a)$
$\forall a\in ]0;+\infty [,\ \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \ln(a^{r})=r\ln(a)$
$\forall a\in \mathbb {R} ^{*},\ \forall \;n\in \mathbb {N} ^{*},\ \ln(a^{2n})=2n\ln |a|$ (حالة خاصة)
$\forall (a_{1},a_{2},....,a_{k})\in ]0:+\infty [^{k},\ \sum _{n=1}^{k}\ln(a_{n})=\ln(\prod _{n=1}^{k}a_{n})$

حيث يشير الرمز $\prod$ إلى جداء.

الاشتقاق والمتسلسلات

الإشتقاق

يتم الحصول على مشتق اللوغاريتم الطبيعي كدالة ذات قيمة حقيقية على الأعداد الحقيقية الموجبة بواسطة:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

إثبات

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right)\\&=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\quad &&\\&=\ln \lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\quad &&\\&=\ln e^{1/x}\quad &&\\&={\frac {1}{x}}\quad &&\end{aligned}}

المتسلسلات

إذا كان $\vert x-1\vert \leq 1$ و $x\neq 0$ ، فإن:[10]

{\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}

هذه هي متسلسلة تايلور لـ ln x زائد 1. يؤدي تغيير المتغيرات إلى توليد متسلسلة ميركاتور:

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,

صالحة من أجل $| x | \leq 1$ و $x \neq -1$ .

دالة اللوغاريتم الطبيعي في التكامل

بمكاملة دالة المقلوب، نتحصل على اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ x، بتعبير آخر:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$ و $\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C$ .

فيما يلي مثال في حالة $g (x) = tan (x)$ :

${\begin{aligned}&\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\[6pt]&\int \tan x\,dx=\int {\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx.\end{aligned}}$

نعتبر $f (x) = cos (x)$ :

$\int \tan x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C$

$\int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C$ حيث $sec (x)$ هي دالة القاطع.

حيث C هو ثابت التكامل. يمكننا مكاملة اللوغاريتم الطبيعي باستخدام التكامل بالتجزئة:

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$

لتكن:

u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}

dv=dx\Rightarrow v=x

إذن:

{\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}

تكامل الدالة المركبة $\ln(ax+b)$ هو:

\int \ln(ax+b)\,dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-(ax+b)}{a}}

الكسور المستمرة

في حين لا توجد كسور مستمرة بسيطة مُتاحة، فإن العديد من الكسور المستمرة المُعمَّمة هي، بما في ذلك:

{\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}

حيث تسمى المتسلسلة الأولى «متسلسلة مركاتور».

{\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

فهذه الكسور المستمرة، وبشكل محدد الأخير، هذه الكسور تتقارب للقيم القريبة من الواحد. على أي حال، يمكن حساب اللوغاريتمات الطبيعيّة لمعظم الأرقام الأكبر ببساطة عبر إضافة هذه الأرقام الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل. على سبيل المثال بما أن 2 = 1.25³ × 1.024 يمكن حساب اللوغاريتم الطبيعيّ لِـ2 بالشكل الآتي:

{\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

علاوةً على ذلك، بما أن 10 = 1.25¹⁰ × 1.024³ فإن اللوغاريتم الطبيعيّ لِـ10 يمكن حسابه وبطريقة مُشابهة لما سبق، وفق الآتي:

{\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

اللوغاريتم العقدي

يعرف كالآتي:

$\ln(xi)=\ln |x|+i\pi$

تمثيل $z = abs(Im(ln(x + yi)))$
تمثيل $z = Re(ln(x + yi))$
تمثيل $z = abs(ln(x + yi))$
تراكب الرسوم البيانية الثلاثة السابقة

انظر أيضًا

هوامش

ملاحظة 1: تتضمن هذه اللغات سي، وسي ++ و ساس ^{[الإنجليزية]} وماتلاب وماثماتيكا وفورتران وبايزيك.

مراجع

O'Connor, J. J.؛ Robertson, E. F. (سبتمبر 2001)، "The number e"، The MacTutor History of Mathematics archive، مؤرشف من الأصل في 14 أغسطس 2019، اطلع عليه بتاريخ 02 فبراير 2009.
Euler, Leonhard (1737)، "Variae observationes circa series infinitas"، Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (CASP)تاريخ النشر: 1744، 9: 160–188، E72.
Euler, Leonhard (1925)، Opera Omnia, Series Prima: Opera Mathematica، Teubner، ج. Quartum Decimum.
Cauchy, Augustin، Exercices d'analyse et de physique mathématique، ج. 3، ص. 380، مؤرشف من الأصل في 5 سبتمبر 2015، اطلع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2015.
Legendre, Adrien-Marie (1798)، Essai sur la théorie des nombres، Paris, France: Duprat, libraire pour les mathématiques, quai des Augustins، ج. VI.
Landau, Edmund (1953) [1909]، Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (ط. 2)، Berlin: Chelsea, New York.
Piskounov, Nikolaï (1972)، Calcul différentiel et intégral (ط. 5)، Moskow: Editions Mir، ص. 91، مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2015.
Jolley, L. B. W. (1961)، Summation of Series (PDF) (ط. 2 (revised))، New York, USA: Dover Publications, Inc.، LCCN 61-65274، مؤرشف من الأصل (PDF) في 17 أبريل 2018، اطلع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2015.
Ballew, Pat، "Math Words, and Some Other Words, of Interest"، مؤرشف من الأصل في 05 ديسمبر 2017، اطلع عليه بتاريخ 18 يناير 2018.
"Logarithmic Expansions" at Math2.org نسخة محفوظة 31 يوليو 2019 على موقع واي باك مشين.

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] O'Connor, J. J.؛ Robertson, E. F. (سبتمبر 2001)، "The number e"، The MacTutor History of Mathematics archive، مؤرشف من الأصل في 14 أغسطس 2019، اطلع عليه بتاريخ 02 فبراير 2009.

[Euler_1737-2] Euler, Leonhard (1737)، "Variae observationes circa series infinitas"، Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (CASP)تاريخ النشر: 1744، 9: 160–188، E72.

[Euler-3] Euler, Leonhard (1925)، Opera Omnia, Series Prima: Opera Mathematica، Teubner، ج. Quartum Decimum.

[Cauchy-4] Cauchy, Augustin، Exercices d'analyse et de physique mathématique، ج. 3، ص. 380، مؤرشف من الأصل في 5 سبتمبر 2015، اطلع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2015.

[Legendre_179x-5] Legendre, Adrien-Marie (1798)، Essai sur la théorie des nombres، Paris, France: Duprat, libraire pour les mathématiques, quai des Augustins، ج. VI.

[Landau_1909-6] Landau, Edmund (1953) [1909]، Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (ط. 2)، Berlin: Chelsea, New York.

[Piskounov_1972-7] Piskounov, Nikolaï (1972)، Calcul différentiel et intégral (ط. 5)، Moskow: Editions Mir، ص. 91، مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2015.

[Jolley_1961-8] Jolley, L. B. W. (1961)، Summation of Series (PDF) (ط. 2 (revised))، New York, USA: Dover Publications, Inc.، LCCN 61-65274، مؤرشف من الأصل (PDF) في 17 أبريل 2018، اطلع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2015.

[9] Ballew, Pat، "Math Words, and Some Other Words, of Interest"، مؤرشف من الأصل في 05 ديسمبر 2017، اطلع عليه بتاريخ 18 يناير 2018.

[10] "Logarithmic Expansions" at Math2.org نسخة محفوظة 31 يوليو 2019 على موقع واي باك مشين.

مواضيع التحليل الرياضي
ما قبل حساب التفاضل والتكامل	رسم بياني للدالة · دالة خطية · قاطع · ميل · مماس · تقعر · فرق محدود · راديان · عاملي · مبرهنة ثنائي الحدين · إكمال المربع · متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة
النهايات	نهاية دالة · نهاية متسلسلة · شكل غير محدد · جدول النهايات
حساب التفاضل	اشتقاق · ترميز نيوتن للتفاضل · ترميز لايبنتز للتفاضل · ترميز نقطي للتفاضل · اشتقاق ثابت · قاعدة المجموع في التفاضل · قاعدة العامل الثابت في التفاضل · خطية التفاضل · حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود · اشتقاق (أمثلة) · قاعدة السلسلة · قاعدة الجداء · قاعدة ناتج القسمة · دوال عكسية و تفاضلها · تفاضل ضمني · نقطة ثابتة · العظمى والصغرى · اختبار المشتقة الأولى · اختبار المشتقة الثانية · مبرهنة القيمة المتطرفة · معادلة تفاضلية · مؤثر تفاضلي · طريقة نيوتن · مبرهنة تايلور · قاعدة اوبيتال · قاعدة لايبنتز · مبرهنة القيمة المتوسطة · اشتقاق لوغاريتمي · تفاضل (رياضيات) · معدلات مرتبطة
حساب التكامل	اشتقاق عكسي · تكامل غير محدد · قاعدة المجموع في التكامل · قاعدة العامل الثابت في التكامل · خطية التكامل · ثابت إختياري في التكامل · المبرهنة الأساسية للتكامل · تكامل بالأجزاء · قاعدة المتسلسلة المعكوسة · تكامل بالتعويض · استبدال مثلثي · كسور جزئية في التكامل · قاعدة شبه المنحرف
دوال وأعداد خاصة	لوغاريتم طبيعي · إي (ثابت رياضي) · دالة أسية · تقريب ستيرلنج · أعداد بيرنولي
تكامل عددي	قائمة مواضيع التحليل العددي · طريقة المستطيل · قاعدة شبه المنحرف · قاعدة سمبسون · متطابقات نيوتن · تربيع غاوسي
قوائم وجداول	جدول الاشتقاقات · جدول الرموز الرياضية · قائمة التكاملات · قائمة بتكاملات التوابع المنطقة · قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة · قائمة بتكاملات التوابع المثلثية · قائمة بتكاملات التوابع الأسية · قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية · قائمة بتكاملات التوابع القوسية · قائمة بتكاملات التوابع المساحية
متغيرات متعددة	اشتقاق جزئي · تكامل بالأقراص · بوق جبريل · مصفوفة جاكوبي · مصفوفة هسه · انحناء · مبرهنة غرين · نظرية الانحراف · نظرية ستوكس
متسلسلات	متسلسلة · متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور · متسلسلة فورييه · صيغة اويلر ماكلاورين
حساب التفاضل والتكامل غير القياسي	حساب التفاضل والتكامل غير القياسي · متناهي الصغر
تاريخ التفاضل والتكامل	عدد لامتناهي · غوتفريد لايبنتز · إسحاق نيوتن · طريقة التدفقات · حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر · ساقية تايلور · كولن ماكلاورين · ليونارد اويلر

مواضيع التفاضل والتكامل
ما قبل حساب التفاضل والتكامل ^{[الإنجليزية]}	مبرهنة ذي الحدين دوال خطيَّة مُستمِرة مُقعَّرة العاملي فرق محدود المتغير الحر والمتغير المقيد تمثيل الدالة البياني ميل المستقيم راديان مبرهنة رول القاطع المماس
النهايات	صيغة غير مُحدَّدة نهاية دالة وحيدة الجانب ^{[الإنجليزية]} نهاية متتالية درجة التقريب
حساب التفاضل	مُشتَق تفاضلي ^{[الإنجليزية]} معادلة تفاضلية مؤثر تفاضلي مبرهنة القيمة المتوسطة تدوين التفاضل ^{[الإنجليزية]} لايبنز نيوتن ^{[الإنجليزية]} قواعد التفاضل الخطيَّة الرفع إلى أُس السلسلة لوبيتال الضرب قاعدة لايبنيز العامة ناتج القسمة تقنيات أخرى الدوال العكسية اللوغاريتم المعدلات المرتبطة نقاط الثبات اختبار المشتق مبرهنة القيمة المُتَّطرفة ^{[الإنجليزية]} النقاط الحرجة تطبيقات أُخرى طريقة نيوتن لإيجاد الجذور سلسلة تايلور
حساب التكامل	المبرهنة الأساسية مُشتَق التكامل ثابت التكامل بالتجزئة بالتعويض مُثلثي أويلر ^{[الإنجليزية]} فايرشتراس ^{[الإنجليزية]} تربيعي ^{[الإنجليزية]} شبه المنحرف مُشتَق عكسي طول القوس الحجوم بالأقراص بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات	مشتق اتجاهي المؤثرات دوران تباعد تدرج لابلاس مبرهنات رئيسة التدرُّج التباعد غرين كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات	مبرهنة التباعد حساب المصفوفات حساب هندسي ^{[الإنجليزية]} ياكوبية هيسية معامل لاغرانج ^{[الإنجليزية]} تكاملات خط سطح حجم متعدد مشتق جزئي مواضيع مُتقدِّمة أشكال تفاضلية مشتق خارجي مبرهنة ستوكس المُعمَّمة حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل	متتالية حسابية هندسية ^{[الإنجليزية]} أنواع السلاسل متناوبة ذات حدين فورييه هندسية متناسقة قوى تايلور متداخلة اختبارات التقارب أبيل ^{[الإنجليزية]} السلاسل المتناوبة ^{[الإنجليزية]} كوشي للتكثيف ^{[الإنجليزية]} المقارنة المباشرة ^{[الإنجليزية]} دركليه ^{[الإنجليزية]} التكامل ^{[الإنجليزية]} مقارنة النهايات ^{[الإنجليزية]} النسبة الأصل ^{[الإنجليزية]} الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة	أعداد برنولي ثابت أويلر دالة أسية لوغاريتم طبيعي تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل	شخصيات تايلور ماكلورين لايبنتس نيوتن أويلر مفاهيم تسوية ^{[الإنجليزية]} المتناهيات في الصغر التدفق قانون الاستمرارية ^{[الإنجليزية]} عمومية الجبر ^{[الإنجليزية]} كتب طريقة المبرهنات الميكانيكية طرق التدفق
قوائم	قواعد التفاضل تكاملات الدوال اللوغاريتمية الأسية المثلثية العكسية القواطع ^{[الإنجليزية]} المُكعَّبة ^{[الإنجليزية]} الزائدية العكسية الكسرية غير الكسرية النهايات
مواضيع متنوعة	الانحناء هندسة تفاضلية للمنحنيات للسطوح ^{[الإنجليزية]} صيغة أويلر وماكلورين بوق جبريل إثبات أن 22/7 أكبر من π مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى ^{[الإنجليزية]} مجسم شتاينميتز ^{[الإنجليزية]}
تصنيف • كومنز بوابة رياضيات • بوابة تحليل رياضي • بوابة هندسة رياضية

دوال رياضية شائعة
دوال جبرية كسرية	كثيرة الحدود كسرية
دول جبرية غير كسرية	دالة القوة / جذر نوني
دوال متسامية	لوغاريتم / دالة أسية لوغاريتم طبيعي / دالة الأس الطبيعي دوال مثلثية / دوال مثلثية عكسية دوال زائدية دالة إهليلجية