حساب المثلثات

Fig. 1a – تعريف جا و جيب تمام الزاوية θ باستخدام دائرة وحدة .

يمكن تعريف الدوال المثلثية بطريقة أخرى غير طريقة حساب المثلثات، وهي طريقة باستخدام الحساب والمتتاليات اللانهائية . ومع تلك التعريفات يمكن صياغة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة . ومن مميزات الدوال الأسية المركبة أنها تستخدم كثيرا في الهندسة الكهربائية وحسابات التيار المتردد و المحركات الكهربائية وكذلك في علم الفلك.

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

أنظر صيغة أويلر وصيغة دي موافر.

هذا الشكل المتحرك يوضح حساب موجة جيبية بواسطة دائرة وحدة. الموجة الجيبية يمكن أن تمثل تيارًا مترددًا.

• 
  عملية تمثيل دالة (y = sin(x باستخدام دائرة الوحدة

قانون الجيب من أجل مثلث معين ما ينص على ما يلي:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

حيث ${\displaystyle \Delta }$ هي مساحة المثلث و R هو شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث.

قانون جيب التمام هو امتداد لمبرهنة فيتاغورس حيث تبقى هذه المبرهنة صحيحة مهما كانت طبيعة هذا المثلث على عكس مبرهنة فيتاغورس التي تكتفي بالمثلثات قائمة الزاوية. تنص هذه المبرهنة على مايلي:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

صيغة أويلر بما أنها تنص على أن ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$، تعطي النتائج التالية:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {(e^{ix}-e^{-ix})}{i(e^{ix}+e^{-ix})}}.}$