مثلث

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:

• مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
• مثلث مختلف الأضلاع أو أخْمَعيّ:[4] هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

متساوي الأضلاع	متساوي الساقين	مختلف الأضلاع

يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:

• مثلث قائم الزاوية: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
• مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة (زاوية منفرجة).
• مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

قائم	منفرج	حاد

الضلع الأفقي يسمى «قاعدة المثلث».

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 درجة (الزوايا التي لها نفس اللون متساوية).

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC).

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.

يقال عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:

1. إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع).
2. إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).
3. إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

- مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.

- محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)

1. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع).
2. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا).
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع).

- النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

- النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

نظرية فيثاغورس

مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيتاغورس لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضرب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام «الزاوية المحصورة بينهما»

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ Cos\theta \,}$

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية (${\displaystyle \theta \,}$) قائمة.

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي:

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

${\displaystyle Area={\frac {1}{2}}bh}$

حيث ${\displaystyle b}$ هي طول قاعدة المثلث و ${\displaystyle h}$ هو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

يحول المثلث أولاً لمتوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.

يمكن حساب المساحة باستخدام صيغة هيرو (أو هيرون) وذلك كالتالي:

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$

حيث s هو نصف طول محيط المثلث:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

و a و b و c أطوال أضلاع المثلث ABC.

قد تحسب مساحة متوازي أضلاع في فضاء اقليدي ثلاثي الأبعاد باستعمال المتجهات. ليكن AB (قد يرمز إلى المتجهة AB ب ${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {AB}}}$) و AC المتجهتين المنطلقتين من A والواصلتين إلى B و C على التوالي. مساحة متوازي الأضلاع ABCD هي

${\displaystyle |\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |}$

والذي يعنى وُسع الضرب الاتجاهي للمتجهتين AB و AC. مساحة المثلث تساوي نصف هذا الوسع أي:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |}$