عاملي

تعرف دالة عاملي بالصيغة التالية:

${\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n}$

أو عن طريق الاستدعاء الذاتي كما يلي

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0.\end{cases}}}$

وكلا التعريفين يضم المتساوية التالية:

${\displaystyle 0!=1,\ }$

يمكننا التعبير عن التوفيقة بدلالة العاملي:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}.}$

لدالة عاملي عدة تطبيقات في مجال نظرية الأعداد. وبشكل خاص، عاملي n قابل للقسمة على جميع الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي n. ونتيجة لذلك، فإن n> 5، عدد مؤلف، إذا وفقط إذا توفر ما يلي:

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}}$

وهنالك نتيجة أقوى من ذلك تتمثل في مبرهنة ويلسون. تنص هاته المبرهنة على ما يلي:

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$

إذا وفقط إذا كان p أوليا.

تبيان للوغاريتم الطبيعي مطبق على دالة عاملي

عندما يصير n كبيرا، تصير دالة عاملي أكبر من أي متعددة حدود ومن أي دالة أسية ل n.(ولكنها تبقى أبطأ من دالة الأس المزدوج).

أغلب التقريبات لعاملي n تعتمد أساسا على تقريب لوغارتمها الطبيعي كما تبين الصيغة:

${\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x.}$.

تبيان الدالة (!f(n) = log(n مبين في يسار هاته الفقرة، حيث يبدو أنها خطية مع n (أي أنها متناسبة معه) إلا أن هذا الحدس خاطئ.

تعطينا صيغة ستيرلينغ مقاربا ل n! عندما تكون n كبيرة:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}}}=1.}$

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء. فلنكتب باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح:

(define fact
(lambda (x)
(if (= x 0) 1
(* x (fact (- x 1))))))

و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

و بنفس الطريقة في Caml :

let rec fact n = 
match n with
| 0 -> 1
| _ -> n * fact(n-1)
;;

و بطريقة أخرى:

let fact n =
let rec aux n r =
match n with
| 0 -> r
| _ -> aux (n-1) (n*r)
in
aux n 1
;;

و في لغة سي:

 int recursive_factorial(int n)
 {
   if (n == 0)
     return 1;
     return n * recursive_factorial(n-1);
 }

و بطريقة أخرى:

 int recursive_factorial(int n)
 {
   int res;
    
   for (res = 1; n> 1; n--)
     res *= n;
    
   return res;
 }

و في لغة بايثون:

def factSimple(num) :
    if num== 0 :
        return 1
    else :
        fact= 1
        count= 1
        while count<= num:
            fact*= count
            count+= 1
        return fact
print("5! = " +str(factSimple(5))) #on the screen : 5! = 120

وبطريقة ثانية:

def fact(num):
    if num==0:
        return 1
    else:
        return num*factorial(num-1)
print("5! = " +str(fact(5))) #on the screen : 5! = 120

وبطريقة ثالثة:

factLambda = lambda num : num>0 and num*fact(num-1) or 1
print("5! = " +str(factLambda(5))) #on the screen : 5! = 120

و في لغة جافاسكربت:

function fact(n){
	let res;
	for (res = 1; n > 1; n--)
		res *= n;

	return res;
}

وبطريقة أخرى:

function fact(n)
{
   if (n == 0)
      return 1;
   else
      return n * fact(n - 1);
}

هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.

• دالة غاما
• الأعداد المثلثية
• تقريب ستيرلينغ
• عاملي أعداد أولية

• بوابة حسابيات
• بوابة رياضيات