معادلة تفاضلية

ظهرت المعادلات التفاضلية أولاً مع اختراع حساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن ولايبنز. في الفصل الثاني من عمله 1671، قام إسحاق نيوتن في كتابه طريقة التدفقات،[5] بإدراج ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

وفي عام 1695 اقترح ياكوب بيرنولي معادلة بيرنولي التفاضلية.[6] معادلة تفاضلية عادية في شكلها التالي:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

التي حاول لايبنز في العام التالي حلحلتها من خلال تبسيطها.[7]

تاريخيًا، درست معضلة اهتزاز حبل ما، حبل آلة موسيقية مثالاً، من طرف كل من لورن دالمبير وليونهارد أويلر ودانييل برنولي وجوزيف لوي لاغرانج.[8][4][9][10] وفي عام 1746، اكتشف لورن دالمبير معادلة الموجة أحادية البُعد وبعد عشر سنين، اكتشف أويلر معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد.[11]

تم تطوير معادلة أويلر-لاغرانج في خمسينيات القرن الماضي من قبل أويلر ولاغرانج فيما يتعلق بدراساتهم لمشكلة التاوتكرون. هذه هي مشكلة تحديد منحنى تسقط عليه الجسيمات الموزونة إلى نقطة ثابتة في فترة زمنية محددة، بغض النظر عن نقطة البداية. قام لاغرانج بحل هذه المشكلة في عام 1755 وأرسل الحل إلى أويلر. قام كلاهما بتطوير طريقة لاجرانج وتطبيقها على الميكانيكا، مما أدى إلى صياغة ميكانيكا لاغرانج.

في عام 1822، نشر فورييه عمله حول تدفق الحرارة في كتابه النظرية التحليلية للحرارة،[12] حيث استند في تفكيره على قانون نيوتن للتبريد، أي أن تدفق الحرارة بين جزيئين متجاورين يتناسب مع اختلاف بسيط للغاية في درجات الحرارة. يحتوي هذا الكتاب على اقتراح فورييه لمعادلة الحرارة الخاصة به من أجل نشر الحرارة الموصلة. يتم الآن تدريس هذه المعادلة التفاضلية الجزئية لكل طالب في الفيزياء الرياضية.

في الفيزياء، المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر V بين مربطي المكثف اثناء الشحن (الدارة RC)

${\displaystyle U'_{c}(t)+U_{c}(t)=E}$

لدينا الحل العام يكتب على شكل:

${\displaystyle U_{c}(t)=Ae^{(-mt)}+B}$

تحديد الثابتين m وB

لدينا: ${\displaystyle U_{c}'(t)=(Ae^{-mt}+B)'=-Ame^{-mt}}$

لنعوض في المعادلة التفاضلية:

${\displaystyle -RCAme^{-mt}+Ae^{-mt}+B=E\Leftrightarrow Ae^{-mt}(1-RCm)+B-E=0}$

الحل صالح مهما كان t وA يخالف 0

إذن: B-E=0

و 1-RCm=0. وبالتالي فإن B=Eوm=1/RC

إذن: ${\displaystyle U_{c}(t)=Ae^{-t/RC}+E}$

تحديد A حسب الشروط البدئية

عند t=0:

${\displaystyle U_{c}(t=0)=0}$ ، إذن ${\displaystyle Ae^{0}+E=0}$

${\displaystyle U_{c}(t)=E(1-e^{-t/RC})}$

توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها:

• بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى:

1. فصل المتغيرات: وذلك بفصل المتغيرات x,dx في جهة وy,dy في جهة أخرى في جانبي المعادلة ومن ثم القيام بمكاملة الطرفين لتحصل على حل على شكل دالة عادية (y=f(x
2. التعويض
3. المعادلات الخطية
4. برنولي

• بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة n:

1. اختزال الرتبة
2. تحديد المعاملات
3. مبادلة المتغيرات
4. طريقة كوشي-أويلر لحل المعادلات التي فيها رتبة المشتقة هو نفسه أس معاملها
5. طريقة المتتابعات الأسية

ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي. كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم.

تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل، فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة، وهكذا دواليك.

دراسة المعادلات التفاضلية هي مجال واسع في الرياضيات البحتة والتطبيقية والفيزياء والهندسة. جميع هذه التخصصات معنية بخصائص المعادلات التفاضلية بأنواعها المختلفة. تركز الرياضيات البحتة على وجود الحلول وتفردها، بينما تؤكد الرياضيات التطبيقية على التبرير الصارم لأساليب تقريب الحلول. تلعب المعادلات التفاضلية دورًا مهمًا في نمذجة كل عملية فيزيائية أو تقنية أو بيولوجية تقريبًا، بدءً من الحركة السماوية إلى تصميم الجسور وحتى التفاعلات بين الخلايا العصبية. قد لا تكون المعادلات التفاضلية مثل تلك المستخدمة في حل مشاكل الحياة الحقيقية بالضرورة قابلة للحل بشكل مباشر، على سبيل المثال لا يوجد لديها حلول شكل مغلقة. بدلاً من ذلك، يمكن تقريب الحلول باستخدام طرق عددية.

يمكن صياغة العديد من القوانين الأساسية للفيزياء والكيمياء كمعادلات تفاضلية. في علم الأحياء والاقتصاد، تستخدم المعادلات التفاضلية لنمذجة سلوك النظم المعقدة. تطورت النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية أولاً مع العلوم التي نشأت فيها المعادلات وحيث وجدت النتائج موضع التطبيق. ومع ذلك، فإن المشاكل المتنوعة، التي تنشأ في بعض الأحيان في مجالات علمية متميزة تمامًا، قد تؤدي إلى معادلات تفاضلية متطابقة. كلما حدث هذا، يمكن اعتبار النظرية الرياضية وراء المعادلات مبدأً موحداً وراء الظواهر المتنوعة. على سبيل المثال، فكر في انتشار الضوء والصوت في الجو، والأمواج على سطح البركة. يمكن وصفها جميعًا من خلال نفس المعادلة التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية، وهي معادلة الموجة، التي تسمح لنا بالتفكير في الضوء والصوت كأشكال من الأمواج، مثلها مثل الموجات المألوفة في الماء. يحكم توصيل الحرارة، التي طورها جوزيف فورييه، معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية، معادلة الحرارة. اتضح أن العديد من عمليات الانتشار، رغم اختلافها على ما يبدو، يتم وصفها بنفس المعادلة؛ ترتبط معادلة بلاك-شولز في التمويل، على سبيل المثال، بمعادلة الحرارة.

• تحليل عددي
• مبرهنة بيكار ليندلوف
• معادلة تفاضلية عادية
• معادلة تفاضلية جزئية

• المعادلات التفاضلية العادية في شبكة الرياضيات رمز.
• Differential equations

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي