تكامل دالي

في حين أن تكامل ريمان القياسي يتعامل مع الدالة (f(x عبر مدى مستمر لقيم X، يتعامل التكامل الدالي مع الدالة [G[f، والتي يطلق عليها «دالة الدالة» لمدى مستمر من الدوال (f(x. لا يمكن حساب معظم التكاملات الدالية بشكل دقبق لكن تحسب بطرق الاضطراب. يمكن القول أن التعريف الرسمي للتكامل الدالي بالتالي:

${\displaystyle \int G[f][Df]\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{\infty }G[f]\prod _{x}df(x).}$

على الرغم من أنه في معظم الحالات يمكن كتابة دوال (f(x في سلسلة لا نهائية من الدوال المتعامدة كما يلي:[10]

${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$

وبذلك يصبح التعريف أكثر وضوحا كالتالي:

${\displaystyle \int G[f][Df]\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{\infty }G(f_{1},f_{2},\ldots )\prod _{n}df_{n},}$

يظهر فيه التكامل على صورة تكامل دالي لكن بحرف D بدلا من حرف F. يوجد رمزين للتعبير عن الدالة الأول [Df] والثاني [D[f للإشارة إلى أن F دالة وليست متغير.

معظم التكاملات الدالية لا نهائية، لكن ناتج قسمة تكاملين داليين يمكن أن يكون تكامل محدود. التكاملات الدالية التي يمكن حلها تبدأ في العادة بالتكامل الغاوسي التالي:

${\displaystyle {\frac {\int e^{i\int -{\frac {1}{2}}f(x)\cdot K(x,y)\cdot f(y)\,dx\,dy+\int J(x)\cdot f(x)\,dx}[Df]}{\int e^{i\int -{\frac {1}{2}}f(x)\cdot K(x,y)\cdot f(y)\,dx\,dy}[Df]}}=e^{i{\frac {1}{2}}\int J(x)\cdot K^{-1}(x,y)\cdot J(y)\,dx\,dy}.}$

يتم التكامل الدالي للدالة (J(x بداية من 0 إلى J. عند وضع

${\displaystyle K(x,y)=\Box \delta (x-y)}$

يصبح هذا أسا مضروبا في كثيرة الحدود كالآتيه:

${\displaystyle {\frac {\int f(a)f(b)e^{i\int f(x)\Box f(x)\,dx^{4}}[Df]}{\int e^{i\int f(x)\Box f(x)\,dx^{4}}[Df]}}=K^{-1}(a,b)={\frac {1}{|a-b|^{2}}},}$

حيث (a,b,x) متغيرات رباعية الأبعاد. هذة هي صيغة انتشار الفوتون في الديناميكا الكهربائية الكمية. هناك عنصر آخر مفيد هو دالة ديراك الدالية:

${\displaystyle \int e^{i\int f(x)g(x)\,dx}[Df]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

• التفاضل والتكامل
• عملية فينر
• حركة براونية

• بوابة الفيزياء
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة ميكانيكا الكم
• بوابة رياضيات